A região entre as curvas x=3 y^2-2, x=y^2 e y=0 é rotacionada em torno do eixo x para formar um sólido. Quantas integrais temos que resolver por cada método? Escolha o método que achar mais apropriado e calcule o volume do sólido.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região em que
x=3y^2-2, x=y^2, y=0
no plano xy. O conteúdo é cálculo de volumes por métodos dos discos/aros e das cascas cilíndricas. Vamos determinar primeiro quantas integrais cada método exige e depois escolher o mais simples.

Passo 2

Análise do método dos discos/aros (fatias perpendiculares a x).
  1. O eixo x varia de x=-2 (quando y=0 na curva x=3y^2-2) até x=1 (quando y=1 em x=y^2 e em x=3y^2-2).
  2. Para -2<= x<=0 a região vai de y=0 até a curva invertida de x=3y^2-2, ou seja y=raiztfracx+23. Isso gera um disco simples e dá uma integral.
  3. Para 0<= x<=1 a região está entre yrm inf=raizx e yrm sup=raiztfracx+23, o que gera um aro (disco com furo) e dá outra integral.
    Portanto o método dos discos/aros exige duas integrais.

Passo 3

Análise do método das cascas cilíndricas (fatias paralelas a x, ou seja varrendo em y).
  1. O parâmetro y vai de 0 até o ponto de interseção em y=1.
  2. Cada casca tem raio =y e altura igual à diferença em x entre as curvas direita e esquerda:
xrm right-xrm <=ft = y^2 - l(3y^2-2r) =2 - 2y^2
  1. Assim há uma única integral para todo yin[0,1].

Passo 4

Cálculo pelo método das cascas cilíndricas.
O volume é
V =integraly=0^12pi,( raio )(a<ura),dy =2piintegral0^1yl(2-2y^2r),dy
Desenvolvendo a integral:
2piintegral0^1l(2y-2y^3r),dy =2pil[;y^2-tfracy^42r]0^1 =2pil(1-tfrac12r) =pi

Resposta

O método dos discos/aros requer duas integrais, o das cascas cilíndricas requer apenas uma.
Escolhendo cascas, o volume é pi.

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