A região entre as curvas
e
é rotacionada em torno do eixo
para formar um sólido. Quantas integrais temos que resolver por cada método? Escolha o método que achar mais apropriado e calcule o volume do sólido.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região em que
no plano
. O conteúdo é cálculo de volumes por métodos dos discos/aros e das cascas cilíndricas. Vamos determinar primeiro quantas integrais cada método exige e depois escolher o mais simples.
Passo 2
Análise do método dos discos/aros (fatias perpendiculares a
).
- O eixo
varia de (quando na curva ) até (quando em e em ). - Para
a região vai de até a curva invertida de , ou seja . Isso gera um disco simples e dá uma integral. - Para
a região está entre o que gera um aro (disco com furo) e dá outra integral.
Portanto o método dos discos/aros exige duas integrais.
Passo 3
Análise do método das cascas cilíndricas (fatias paralelas a
, ou seja varrendo em
).
- O parâmetro
vai de até o ponto de interseção em . - Cada casca tem raio
e altura igual à diferença em entre as curvas direita e esquerda:
- Assim há uma única integral para todo
.
Passo 4
Cálculo pelo método das cascas cilíndricas.
O volume é
O volume é
Desenvolvendo a integral:
Resposta
O método dos discos/aros requer duas integrais, o das cascas cilíndricas requer apenas uma.
Escolhendo cascas, o volume é .
Escolhendo cascas, o volume é