Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
x=1+(y-2)^2 ; em torno de x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pela curva x = 1 + (y - 2)^2 é girada em torno do eixo x = 2 . O conteúdo que vamos usar aqui é o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação. Para isso, vamos precisar entender como montar a integral usando esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva que estamos lidando: x = 1 + (y - 2)^2 . Essa é uma parábola aberta para a direita, com vértice no ponto (1, 2) . Queremos girar essa região ao redor do eixo vertical x = 2 .

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, a ideia é cortar a região em “cascas” finas e cilíndricas. Para cada pequeno pedaço, calculamos o volume da casca e depois somamos todos esses volumes usando uma integral.

Passo 4

Vamos identificar a altura e o raio de cada casca. A altura da casca será o comprimento da curva para cada valor de y , e o raio será a distância entre o eixo de rotação ( x = 2 ) e o ponto na curva.

Passo 5

A distância do ponto na curva x = 1 + (y - 2)^2 até o eixo x = 2 é |2 - x| = |2 - (1 + (y - 2)^2)| = |1 - (y - 2)^2| . Como estamos lidando com comprimentos positivos, podemos simplificar para 2 - x = 2 - [1 + (y - 2)^2] = 1 - (y - 2)^2 .

Passo 6

A altura da casca é simplesmente dy , já que estamos integrando em relação a y . Portanto, o volume de uma casca é dado por:
dV = 2pi times raio times a<ura = 2pi (1 - (y - 2)^2) dy

Passo 7

Agora precisamos determinar os limites de integração. A parábola x = 1 + (y - 2)^2 atinge seu mínimo em y = 2 . Para saber até onde ela se estende, vamos considerar os valores de y onde x = 0 , mas como x >= 1 , na verdade a parábola se estende para todos os y . Para um volume finito, provavelmente consideramos um intervalo simétrico em torno de y = 2 . Vamos assumir, por simplicidade, que estamos integrando de y = 1 a y = 3 .

Passo 8

Com os limites de y = 1 a y = 3 , montamos a integral para o volume:
V = 2pi integral1^3 (1 - (y - 2)^2) dy

Passo 9

Vamos resolver a integral passo a passo:
V = 2pi integral1^3 (1 - (y - 2)^2) dy
Primeiro, expandimos (y - 2)^2 :
(y - 2)^2 = y^2 - 4y + 4
Então, a integral fica:
V = 2pi integral1^3 (1 - y^2 + 4y - 4) dy = 2pi integral1^3 (-y^2 + 4y - 3) dy

Passo 10

Agora, integramos termo a termo:
integral (-y^2 + 4y - 3) dy = -y^33 + 2y^2 - 3y
Avaliado de y = 1 a y = 3 :
[ -3^33 + 2(3)^2 - 3(3) ] - [ -1^33 + 2(1)^2 - 3(1) ] = [ -9 + 18 - 9 ] - [ -13 + 2 - 3 ] = 0 - ( -43 ) = 43

Passo 11

Multiplicando pelo 2pi :
V = 2pi times 43 = 8pi3

Resposta

O volume gerado pela rotação da região em torno do eixo x = 2 é 8pi3 unidades cúbicas.

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