Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume gerado quando a região delimitada pela curva
é girada em torno do eixo
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação. Para isso, vamos precisar entender como montar a integral usando esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva que estamos lidando:
. Essa é uma parábola aberta para a direita, com vértice no ponto
. Queremos girar essa região ao redor do eixo vertical
.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, a ideia é cortar a região em “cascas” finas e cilíndricas. Para cada pequeno pedaço, calculamos o volume da casca e depois somamos todos esses volumes usando uma integral.
Passo 4
Vamos identificar a altura e o raio de cada casca. A altura da casca será o comprimento da curva para cada valor de
, e o raio será a distância entre o eixo de rotação (
) e o ponto na curva.
Passo 5
A distância do ponto na curva
até o eixo
é
. Como estamos lidando com comprimentos positivos, podemos simplificar para
.
Passo 6
A altura da casca é simplesmente
, já que estamos integrando em relação a
. Portanto, o volume de uma casca é dado por:
Passo 7
Agora precisamos determinar os limites de integração. A parábola
atinge seu mínimo em
. Para saber até onde ela se estende, vamos considerar os valores de
onde
, mas como
, na verdade a parábola se estende para todos os
. Para um volume finito, provavelmente consideramos um intervalo simétrico em torno de
. Vamos assumir, por simplicidade, que estamos integrando de
a
.
Passo 8
Com os limites de
a
, montamos a integral para o volume:
Passo 9
Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, expandimos
:
Então, a integral fica:
Passo 10
Agora, integramos termo a termo:
Avaliado de
a
:
Passo 11
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região em torno do eixo
é
unidades cúbicas.