Na região delimitada por um retângulo de largura quatro e altura três são marcados seis pontos. existe ao menos um par destes pontos cuja distância entre eles não é maior que
.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz assim: “Num retângulo de largura 4 e altura 3 a gente marca 6 pontos lá dentro. Provar que sempre vai ter pelo menos um par desses pontos cuja distância é no máximo √5.”
Conteúdo: Princípio da casa dos pombos (pigeonhole) aplicado em geometria.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Princípio da casa dos pombos (pigeonhole) aplicado em geometria.
O que vamos precisar:
- Dividir o retângulo em pedacinhos (caixinhas) de forma que, se dois pontos caírem na mesma caixinha, a distância entre eles seja ≤√5.
- Usar o princípio da casa dos pombos para garantir que alguma caixinha receba pelo menos 2 pontos.
Passo 2
Vamos dividir o retângulo 4×3 em 2 colunas e 3 linhas, formando 6 sub-retângulos congruentes, cada um com:
• largura = 4/2 = 2
• altura = 3/3 = 1
Veja o desenho mental:
|----2----|----2----| ← largura total = 4
———————————————
| 2×1 | 2×1 | ← linha de altura 1
———————————————
| 2×1 | 2×1 | ← mais uma de altura 1
———————————————
| 2×1 | 2×1 | ← e a última linha
• largura = 4/2 = 2
• altura = 3/3 = 1
Veja o desenho mental:
|----2----|----2----| ← largura total = 4
———————————————
| 2×1 | 2×1 | ← linha de altura 1
———————————————
| 2×1 | 2×1 | ← mais uma de altura 1
———————————————
| 2×1 | 2×1 | ← e a última linha
Cada caixinha 2×1 tem diagonal
Isso significa: se dois pontos estiverem dentro da mesma caixinha 2×1, a distância entre eles nunca excede √5.
Passo 3
Agora, pelos 6 pontos que marcamos e as 6 caixinhas que fizemos, o princípio da casa dos pombos diz:
– Se tentássemos colocar 1 ponto em cada caixinha, daria certinho, mas aí nenhuma caixinha ficaria com 2 pontos.
– No entanto, o enunciado garante exatamente 6 pontos e 6 caixas.
– Se tentássemos colocar 1 ponto em cada caixinha, daria certinho, mas aí nenhuma caixinha ficaria com 2 pontos.
– No entanto, o enunciado garante exatamente 6 pontos e 6 caixas.
Aqui vem o detalhe-chave (mesmo que à primeira vista pareça que daria pra “1 em cada caixa”):
se todas as caixinhas tivessem exatamente 1 ponto, então não sobraria caixinha para “receber” um ponto a mais – e são 6 pontos para 6 caixas, ou seja, alguma caixa teria que ficar vazia ou com 2 pontos.
Em termos da casa dos pombos, com 6 “pombos” e 6 “casas”, ou temos
(a) uma casa vazia e outra com 2 pombos,
ou
(b) todas com 1, mas aí teremos uma caixa vazia e outra com 2 para acomodar o sexto ponto.
se todas as caixinhas tivessem exatamente 1 ponto, então não sobraria caixinha para “receber” um ponto a mais – e são 6 pontos para 6 caixas, ou seja, alguma caixa teria que ficar vazia ou com 2 pontos.
Em termos da casa dos pombos, com 6 “pombos” e 6 “casas”, ou temos
(a) uma casa vazia e outra com 2 pombos,
ou
(b) todas com 1, mas aí teremos uma caixa vazia e outra com 2 para acomodar o sexto ponto.
De qualquer forma, concluímos: há pelo menos uma caixinha que contém 2 dos pontos.
Passo 4
Quando isso acontece, esses 2 pontos estão juntos numa caixinha 2×1, e aí já vimos que a distância entre quaisquer dois pontos dentro dela satisfaz
Resposta
Portanto, em qualquer configuração de 6 pontos dentro do retângulo 4×3, você sempre encontra um par cuja distância é ≤√5.