O conjunto dos dígitos 1,2, ldots, 9 é dividido em três conjuntos disjuntos. Provar que o produto dos números de algum desses conjuntos deve ser maior que 71.

Passo 1

O enunciado diz que a gente pega os dígitos 1,2,…,9 e divide eles em três grupos sem sobreposição (ou seja, cada dígito vai exatamente pra um grupo). A tarefa é mostrar que, seja qual for essa divisão, o produto dos números em pelo menos um dos grupos tem de ser maior que 71.
Conteúdo: vamos usar o fato de que o produto de todos os dígitos de 1 a 9 é o fatorial 9! e uma ideia de “pigeonhole” simples (se todos os três produtos fossem ≤ 71, dá um problema).

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que todos os três grupos tenham produto menor ou igual a 71.
Se chamarmos esses produtos de P1, P2 e P3, nossa hipótese é:
P1 <= 71, P2 <= 71, P3 <= 71
Como os grupos são disjuntos e cobrem todos os dígitos de 1 a 9, a multiplicação dos três produtos dá exatamente o produto de 1 a 9:
P1 times P2 times P3 ;=; 1cdot2cdot3cdots9 ;=;9!

Passo 3

Pela nossa hipótese,
P1times P2times P3 ;<=;71times71times71 ;=;71^3
Agora, a gente calcula (ou lembra) que:
9! = 1cdot2cdot3cdot4cdot5cdot6cdot7cdot8cdot9 = 362880,
71^3 = 71 times 71 times 71 = 357911
Repara que 9! = 362880 é maior que 71^3 = 357911. Então na nossa linha teríamos
9! = P1P2P3 <= 71^3 < 9!,
o que é impossível.

Passo 4

Como chegamos a uma contradição (não dá pra ter 9! <= 71^3), nossa suposição de que todos os três produtos fossem ≤ 71 estava errada. Logo, pelo menos um dos grupos deve ter produto maior que 71.

Resposta

Em qualquer divisão dos dígitos de 1 a 9 em três conjuntos disjuntos, um desses conjuntos tem produto maior que 71.

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