O conjunto dos dígitos
é dividido em três conjuntos disjuntos. Provar que o produto dos números de algum desses conjuntos deve ser maior que 71.
Passo 1
O enunciado diz que a gente pega os dígitos 1,2,…,9 e divide eles em três grupos sem sobreposição (ou seja, cada dígito vai exatamente pra um grupo). A tarefa é mostrar que, seja qual for essa divisão, o produto dos números em pelo menos um dos grupos tem de ser maior que 71.
Conteúdo: vamos usar o fato de que o produto de todos os dígitos de 1 a 9 é o fatorial e uma ideia de “pigeonhole” simples (se todos os três produtos fossem ≤ 71, dá um problema).
Conteúdo: vamos usar o fato de que o produto de todos os dígitos de 1 a 9 é o fatorial
Passo 2
Suponha, para chegar a uma contradição, que todos os três grupos tenham produto menor ou igual a 71.
Se chamarmos esses produtos de ,
e
, nossa hipótese é:
Se chamarmos esses produtos de
Como os grupos são disjuntos e cobrem todos os dígitos de 1 a 9, a multiplicação dos três produtos dá exatamente o produto de 1 a 9:
Passo 3
Pela nossa hipótese,
Agora, a gente calcula (ou lembra) que:
Repara que
o que é impossível.
Passo 4
Como chegamos a uma contradição (não dá pra ter
), nossa suposição de que todos os três produtos fossem ≤ 71 estava errada. Logo, pelo menos um dos grupos deve ter produto maior que 71.
Resposta
Em qualquer divisão dos dígitos de 1 a 9 em três conjuntos disjuntos, um desses conjuntos tem produto maior que 71.