Numa região do espaço existe um campo elétrico uniforme igual a 20 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. Calcule o fluxo elétrico através de uma área plana A=0,5 \mathrm{~m}^{2}, sabendo que a normal à área forma com o vetor E un ângulo de:
60^{\circ}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: campo elétrico uniforme \,E = 20\\ \mathrm{N/C}.
  • Dado: área plana A = 0{,}5\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Dado: a normal à área forma com o vetor \mathbf{E} um ângulo de 60^{\circ}.
  • Pedido: calcular o fluxo elétrico através dessa área.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicadinho passo a passo).
  • Fluxo elétrico é uma medida de quantas linhas de campo atravessam uma superfície. Em termos vetoriais: \Phi = \iint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
  • Para campo uniforme e superfície plana, a integral vira produto escalar simples entre o vetor campo e o vetor área: \Phi = \mathbf{E}\cdot\mathbf{A}.
    • Aqui \Phi é o fluxo elétrico (unidade: \mathrm{N\cdot m^{2}/C}).
    • \mathbf{E} é o vetor campo elétrico (módulo E).
    • \mathbf{A} é o vetor área: seu módulo é A e sua direção é a normal à superfície (sentido escolhido conforme orientação).
  • Produto escalar de dois vetores pela definição: \mathbf{E}\cdot\mathbf{A}=E\,A\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{E} e a normal \mathbf{A}.
  • Portanto, para este problema podemos usar diretamente a fórmula em bloco:
\Phi = E\,A\cos\theta.

Passo 3

Interpretação das variáveis neste problema e valores numéricos:
  • E = 20 (peguei do enunciado), então E = 20\\ \mathrm{N/C}.
  • A = 0{,}5 (peguei do enunciado), então A = 0{,}5\\ \mathrm{m^{2}}.
  • \theta = 60^{\circ} (peguei do enunciado).
  • Lembrete trigonométrico útil: \cos 60^{\circ} = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo (sem pular contas):
\Phi = E\,A\cos\theta.
Substituindo:
\Phi = 20\cdot 0{,}5\cdot \cos 60^{\circ}.
Usando \cos 60^{\circ} = \tfrac{1}{2}:
\Phi = 20\cdot 0{,}5\cdot \tfrac{1}{2}.
Calcule na ordem fácil de fazer sem calculadora:
20\cdot 0{,}5 = 10,
10\cdot \tfrac{1}{2} = 5.
Logo \Phi = 5.

Passo 5

Verificação de unidades e interpretação do sinal:
  • Unidades: E tem \mathrm{N/C} e A tem \mathrm{m^{2}}, logo \Phi tem unidades \mathrm{N\cdot m^{2}/C}. Portanto o resultado é \Phi = 5\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.
  • Interpretação do sinal: como o ângulo entre a normal e \mathbf{E} é 60^{\circ}<90^{\circ}, o cosseno é positivo e o fluxo é positivo — isto significa que, segundo a orientação da normal, há fluxo saindo (ou entrando, dependendo da convenção) com sinal positivo. Se a normal fosse oposta, o fluxo teria o mesmo módulo e sinal oposto.

Resposta

\Phi = 5\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}

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