Seja f(x)=integral0^x e^x^2-t^22 d t. Mostre que f^prime(x)-x f(x)=1, para todo x in R.

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=integral0^xe^x^2-t^22,dt e pede para mostrar que f'(x)-x f(x)=1. O conteúdo principal aqui é a diferenciação de integrais cujo integrando depende do parâmetro x, usando a regra de Leibniz.

Passo 2

Definimos g(x,t)=e^x^2-t^22. Pela regra de Leibniz para derivar f(x)=integral0^xg(x,t),dt temos
f'(x)=g(x,x)+integral0^xpartialpartial xg(x,t),dt

Passo 3

Calculamos cada termo:
  • g(x,x)=e^x^2-x^22=e^0=1.
  • partialpartial xg(x,t)=partialpartial xe^x^2-t^22=x,e^x^2-t^22.
    Substituindo em f'(x):
f'(x)=1+integral0^xx,e^x^2-t^22,dt

Passo 4

Como o fator x não depende de t, podemos tirá-lo da integral:
f'(x)=1+xintegral0^xe^x^2-t^22,dt=1+x,f(x)
Rearranjando, obtemos exatamente f'(x)-x f(x)=1.

Resposta

f’(x)-x f(x)=1

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