As regiões do R^3 são formadas por pontos (x, y, z) que satisfazem condições específicas descritas por equações envolvendo suas coordenadas. Associe a descrição da região à sua respectiva equação.

REGIÕES:

(a) ( ) A região entre o plano y z e o plano perpendicular ao eixo x em (5,0,0).
(b) ( ) A região formada pelos pontos cuja distância à origem é pelo menos 1 e no máximo 2 .
(c) ( ) A região sobre o plano x y e abaixo dele, formada pelos pontos cuja distância à origem é no máximo 1 e no mínimo 2 .
(d) ( ) A fatia do espaço constuída pelos pontos entre os planos x y e z=2 e sobre eles.
(e) ( ) O semi-espaço formado pelos pontos sobre o plano x y e abaixo dele.
(f) ( ) O interior da esfera de raio 5 e centro (1,3,-1).
(g) ( ) Todos os pontos sobre ou dentro do cilindro circular com eixo no eixo y e raio 3 .
(h) ( ) Plano paralelo ao plano x z localizado quatro unidades à esquerda dele.
(i) ( ) O semi-espaço constituído por todos os pontos a frente do plano x=3.
(j) ( ) A fatia do espaço constituída por pontos sobre ou entre os planos horizontais x=0 e x=6.
(k) ( ) Todos os pontos sobre ou dentro da esfera de raio raiz3 e centro (0,0,0). EQUAÇÕES
(1) x <= 0
(7) y=-4
(2) 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4 e z <= 0
(8) x^2+y^2 <= 9
(3) 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4
(9) x^2+y^2+z^2 <= 3
(4) (x-1)^3+(y-3)^2+(z+1)^2<25
(10) 0 <= x <= 6
(5) 0<x<5
(11) x>3
(6) 0 <= z <= 2

Passo 1

O enunciado pede para identificar, em R^3, cada região descrita geométricamente (planos, fatias, esferas, cilindro etc.) e associá-la à equação ou desigualdade correta dentre as oferecidas.

Passo 2

Regiões definidas por planos, semi-espaços e fatias planas:
  • (a) Entre o plano e o plano perpendicular ao eixo em ; ; ; equação .
  • (d) Fatia entre o plano e , incluindo ambos; ; ; equação .
  • (e) Semi-espaço sobre o plano e abaixo dele ; ; isolado nas opções, sobra }x\le0}); equação (única restante).
  • (h) Plano paralelo a , quatro unidades à esquerda; ; ; equação .
  • (i) Semi-espaço à frente do plano ; ; ; equação .
  • (j) Fatia entre os planos e , incluindo ambos; ; ; equação .

Passo 3

Regiões esféricas ou cascas esféricas:
  • (b) Distância à origem entre 1 e 2; Longrightarrow; 1<= x^2+y^2+z^2<=4; Rightarrow equação (3).
  • (c) Mesma casca de raio entre 1 e 2, mas sobre e abaixo do plano xy (z<=0); Longrightarrow; 1<= x^2+y^2+z^2<=4,;z<=0; Rightarrow equação (2).
  • (f) Interior da esfera de raio 5 centro (1,3,-1); Longrightarrow; (x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2<25; Rightarrow equação (4).
  • (k) Esfera de raio raiz3 centro origem, incluindo interior; Longrightarrow; x^2+y^2+z^2<=3; Rightarrow equação (9).

Passo 4

Região cilíndrica:
  • (g) Cilindro circular de eixo no eixo y e raio 3; Longrightarrow; x^2+z^2<=9; Rightarrow única forma compatível nas opções é x^2+y^2<=9 trocando o eixo, i.e.\ equação (8).

Resposta

(a) ( 5)
(b) ( 3)
(c) ( 2)
(d) ( 6)
(e) ( 1)
(f) ( 4)
(g) ( 8)
(h) ( 7)
(i) ( 11)
(j) ( 10)
(k) ( 9)

Exercícios relacionados