Os registros mostram que t horas após a meia-noite, a temperatura em um certo aeroporto foi T(t)=-0,3 t^2+4 t+10, em ^circ C. Qual foi a temperatura média no aeroporto entre 9 h e meio-dia?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em função do tempo desde a meia-noite como
T(t) = -0,3,t^2 + 4,t + 10
e pede a temperatura média entre t=9 e t=12. O conteúdo aqui é o valor médio de uma função num intervalo, que se obtém por meio de integrais.

Passo 2

A definição de valor médio de uma função contínua T(t) em [a,b] é
Tmédia = 1b - a integrala^b T(t),dt é
Aqui a=9 e b=12, logo
Tmédia = 112-9 integral9^12 l(-0,3,t^2 + 4,t + 10r),dt = 13 integral9^12 l(-0,3,t^2 + 4,t + 10r),dt é

Passo 3

Calculamos uma antiderivada de -0,3,t^2 + 4,t + 10:
integral l(-0,3,t^2 + 4,t + 10r),dt = -0,3 cdot t^33 + 4cdott^22 + 10,t = -0,1,t^3 + 2,t^2 + 10,t

Passo 4

Avaliamos essa antiderivada em t=12 e t=9:
F(12) = -0,1cdot12^3 + 2cdot12^2 + 10cdot12 = -0,1cdot1728 + 2cdot144 + 120 = -172,8 + 288 + 120 = 235,2,
F(9) = -0,1cdot9^3 + 2cdot9^2 + 10cdot9 = -0,1cdot729 + 2cdot81 + 90 = -72,9 + 162 + 90 = 179,1
Então
integral9^12 T(t),dt = F(12) - F(9) = 235,2 - 179,1 = 56,1

Passo 5

Finalmente, a temperatura média é
Tmédia = 13 times 56,1 = 18,7 é

Resposta

A temperatura média entre 9 h e meio-dia foi 18,7,^circC.

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