Resolva: 3-xx+2 <= 1x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
3-xx+2 <= 1x+2
O conteúdo é inequações racionais: precisamos identificar o domínio ( xneq -2), trazer tudo para um único lado, obter uma única fração, fatorar numerador e denominador, e estudar o sinal.

Passo 2

Passamos tudo para o lado esquerdo:
3-xx+2 - 1x+2 <= 0
Como têm mesmo denominador, podemos juntar:
3 - x - 1x+2 <= 0 Longrightarrow 2 - xx+2 <= 0

Passo 3

Fatoramos o numerador 2-x:
2 - x = -(x-2),
então a inequação vira
-(x-2)x+2 <= 0
Multiplicando ambos os lados por -1 (e invertendo o sinal da desigualdade), obtemos
x-2x+2 >= 0

Passo 4

Identificamos os pontos críticos da fração x-2x+2:
  • Zero do numerador: x=2.
  • Ponto de descontinuidade (denominador nulo): x=-2.

Passo 5

Estudamos o sinal de x-2x+2 nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
  • Em (-infty, -2): x-2<0 e x+2<0 Rightarrow quociente >0.
  • Em (-2,2): x-2<0 e x+2>0 Rightarrow quociente <0.
  • Em (2,infty): x-2>0 e x+2>0 Rightarrow quociente >0.
Queremos x-2x+2>=0, ou seja, quociente não negativo:
  • Satisfaz em (-infty,-2) e em (2,infty).
  • Em x=2 o quociente vale zero, que também satisfaz >=0.
  • Em x=-2 a expressão é indefinida.

Passo 6

Concluímos que a solução é
(-infty,,-2);cup;[2,,+infty)

Resposta

(-infty,,-2)cup[2,,+infty)

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