Os registros dos últimos anos de um colégio atestam para os calouros admitidos uma nota média 112 (teste vocacional) e desvio padrão 20. Considerando que o teste vocacional segue uma distribuição normal, qual a probabilidade de um aluno calouro obter uma nota dentre 108 e 120 ?
Gabarito: P(108

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem as notas de um teste vocacional que seguem uma distribuição normal com média de 112 e desvio padrão de 20. A pergunta é: qual a probabilidade de um aluno calouro tirar uma nota entre 108 e 120? Para resolver isso, vamos precisar usar a ideia de distribuição normal e z-score.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma distribuição normal. É aquela curva em forma de sino que mostra como os valores estão distribuídos ao redor da média. A média é o ponto central, e o desvio padrão mostra o quanto os valores se espalham em torno dessa média.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade entre duas notas, a gente vai usar o z-score, que transforma nossas notas na escala da distribuição normal padrão (média 0 e desvio padrão 1). A fórmula do z-score é:
z = x - musigma
Onde:
  • $ x $ é a nota que queremos transformar,
  • $ \mu $ é a média,
  • $ \sigma $ é o desvio padrão.

Passo 4

Vamos calcular o z-score para as duas notas: 108 e 120.
Para 108:
z1 = 108 - 11220 = -420 = -0.2
Para 120:
z2 = 120 - 11220 = 820 = 0.4

Passo 5

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão (tabela z) para encontrar as probabilidades correspondentes a esses z-scores.
  • P(z < 0.4) ≈ 0.6554
  • P(z < -0.2) ≈ 0.4207
Para achar a probabilidade entre 108 e 120, subtraímos essas duas probabilidades:
P(108 < x < 120) = P(z < 0.4) - P(z < -0.2) = 0.6554 - 0.4207 = 0.2347

Resposta

A probabilidade de um aluno calouro obter uma nota entre 108 e 120 é 23,47%.

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