Regra da Cadeia: determine as derivadas das seguintes funções em relação ao seu argumento
10.
f(x)=\ln \left(x^{4}+2 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \ln\bigl(x^{4} + 2x^{2}\bigr)
ou seja, estamos em conteúdo de derivada de logaritmo composto, onde aplicamos a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x^{4} + 2x^{2}
e lembramos que, para f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), vale
f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{4} + 2x^{2}\bigr) = 4x^{3} + 4x.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra da cadeia, obtemos
f'(x) = \frac{4x^{3} + 4x}{\,x^{4} + 2x^{2}\,} = \frac{4x(x^{2}+1)}{x^{2}(x^{2}+2)} = \frac{4(x^{2}+1)}{x(x^{2}+2)}.

Resposta

f'(x) = \frac{4x^{3} + 4x}{x^{4} + 2x^{2}}
ou, de forma simplificada,
f'(x) = \frac{4(x^{2}+1)}{x(x^{2}+2)}.

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