(Regra do Ponto Médio) Use a Regra do Ponto Médio com n=4 para aproximar integral1^3 11+x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a Regra do Ponto Médio com n = 4 . A integral que queremos aproximar é integral1^3 11+x^2 , dx. A matéria que estamos usando aqui é o cálculo integral, especificamente métodos numéricos para aproximação de integrais. Para resolver, vamos precisar dividir o intervalo de integração em 4 partes, encontrar os pontos médios de cada subintervalo e calcular a soma das áreas dos retângulos formados nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a largura de cada subintervalo. O intervalo vai de 1 a 3, então o comprimento total é 3 - 1 = 2. Como vamos dividir em 4 partes, a largura de cada subintervalo, que chamamos de De<a x , é:
De<a x = 3 - 14 = 24 = 0.5

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos finais de cada subintervalo e, em seguida, encontrar o ponto médio de cada um. Os subintervalos são:
  1. De 1 a 1.5
  2. De 1.5 a 2.0
  3. De 2.0 a 2.5
  4. De 2.5 a 3.0
Os pontos médios são:
  1. m1 = 1 + 0.52 = 1.25
  2. m2 = 1.5 + 0.52 = 1.75
  3. m3 = 2.0 + 0.52 = 2.25
  4. m4 = 2.5 + 0.52 = 2.75

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da função f(x) = 11+x^2 em cada ponto médio:
f(m1) = 11 + (1.25)^2 = 11 + 1.5625 = 12.5625 approx 0.3902
f(m2) = 11 + (1.75)^2 = 11 + 3.0625 = 14.0625 approx 0.2462
f(m3) = 11 + (2.25)^2 = 11 + 5.0625 = 16.0625 approx 0.1653
f(m4) = 11 + (2.75)^2 = 11 + 7.5625 = 18.5625 approx 0.1168

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do Ponto Médio, que é basicamente somar os valores da função nos pontos médios e multiplicar pela largura De<a x :
Aproximação = De<a x [ f(m1) + f(m2) + f(m3) + f(m4) ] çã
Substituindo os valores que calculamos:
Aproximação = 0.5 [ 0.3902 + 0.2462 + 0.1653 + 0.1168 ] çã
Aproximação = 0.5 times 0.9185 = 0.45925 çã

Resposta

A aproximação da integral integral1^3 11+x^2 , dx usando a Regra do Ponto Médio com n = 4 é aproximadamente 0.45925.

Exercícios relacionados