1. Uma regra prática: no resultado da divisão de potências de mesma base,
    \_\_\_\_ (conserva-se; não se conserva) a base e o expoente é o expoente da potência que está no numerador \_\_\_\_ (mais; menos) o expoente da potência que está no denominador.

Passo 1

O enunciado pede para preencher duas lacunas numa regra prática sobre divisão de potências de mesma base. As opções dadas entre parênteses são:
  • Para a primeira lacuna: \text{conserva-se} ou \text{não se conserva}ã.
  • Para a segunda lacuna: \text{mais} ou \text{menos}.
A informação essencial do enunciado é: trata-se da divisão de potências que têm a mesma base (por exemplo, a^m dividido por a^n).

Passo 2

Vamos escrever a regra em linguagem matemática e explicar cada símbolo. Considere duas potências com a mesma base:
\frac{a^{m}}{a^{n}},
onde a é a base (um número real diferente de zero para que a divisão faça sentido), m é o expoente da potência no numerador e n é o expoente da potência no denominador.
A regra que vamos demonstrar é:
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}.
Aqui:
  • a é a base que aparece tanto no numerador quanto no denominador;
  • m e n são inteiros não necessariamente positivos (mas começaremos explicando com inteiros não negativos).

Passo 3

Explicação por cancelamento (caso m \ge n). Escrevendo as potências como produto de fatores iguais:
a^{m} = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{m\\ \text{vezes}},\qquad a^{n} = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\\ \text{vezes}}.
Ao dividir, cada fator a do denominador cancela um fator a do numerador. Se m\ge n, sobram m-n fatores a no numerador. Assim:
\frac{a^{m}}{a^{n}} = \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{m-n\\ \text{vezes}} = a^{m-n}.
Isto mostra que a base a realmente se conserva (continua sendo a) e que o expoente resultante é m-n, ou seja, o expoente do numerador m menos o expoente do denominador n.

Passo 4

Exemplo numérico ilustrativo (caso m\ge n). Tome a=2, m=5, n=3:
\frac{2^{5}}{2^{3}}=\frac{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}{2\cdot2\cdot2}=\frac{\cancel{2}\,\cancel{2}\,\cancel{2}\,2\cdot2}{\cancel{2}\,\cancel{2}\,\cancel{2}}=2^{2}=4.
E 5-3=2, então 2^{5}/2^{3}=2^{5-3}=2^{2}.

Passo 5

Caso m<n (expoente resultante negativo). Se o denominador tem mais fatores que o numerador, ao cancelar sobram fatores no denominador, o que corresponde a um expoente negativo no numerador. Por exemplo, a=2, m=2, n=5:
\frac{2^{2}}{2^{5}}=\frac{2\cdot2}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2}=\frac{1}{2^{3}}=2^{-3}.
Isto segue a mesma fórmula geral:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},
pois 2^{2-5}=2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}.

Passo 6

Caso m=n. Se m=n, todos os fatores cancelam e o resultado é 1:
\frac{a^{m}}{a^{m}}=a^{m-m}=a^{0}=1\qquad(\text{para }a\neq0).

Passo 7

Resumo didático e conclusão: ao dividir potências de mesma base, a base permanece a mesma porque a divisão cancela fatores iguais; o novo expoente é obtido subtraindo o expoente do denominador do expoente do numerador. É importante lembrar que a\neq0 para a divisão estar bem definida.

Resposta

Uma regra prática: no resultado da divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e o expoente é o expoente da potência que está no numerador menos o expoente da potência que está no denominador.

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