(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
se
e
se
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada
da função
dada por
.
Informações fornecidas (relevantes para a resolução):
Informações fornecidas (relevantes para a resolução):
- A função pode ser escrita como função por partes, porque
tem representação diferente para e . - Não há outras condições adicionais; a tarefa é aplicar regras de derivação.
Passo 2
Reescrever
Aqui ficou explícito que para cada intervalo o
ou
), o que facilita aplicar as regras usuais de derivação.]
Passo 3
Lembrete da regra que vamos usar (a “aula” rápida e prática): regra da potência.
Se com
constante, então a derivada é
Se
- Nesta fórmula,
é o expoente (um número), é a variável. - Exemplo rápido: se
então .
Também usaremos que a derivada de uma constante multiplicada por função é a constante vezes a derivada: seentão .
Passo 4
Aplicar a regra da potência no ramo
(direita de zero). Para
temos
. Então, usando a regra da potência:
Expliquei passo a passo: peguei
e apliquei
.
Passo 5
Aplicar a regra no ramo
(esquerda de zero). Para
temos
. Usando linearidade da derivada e a regra da potência:
Ou seja, a constante
sai multiplicando e a derivada de
é
, resultando em
.
Passo 6
Verificar a derivabilidade em
(muito importante quando se trabalha com
). Há duas maneiras equivalentes; uso aqui a checagem por derivadas laterais (ou pela definição do limite):
Derivada à direita em
:
Derivada à esquerda em
:
Como as derivadas laterais são iguais (
), a derivada em
existe e vale
:
Observação intuitiva: mesmo que a fórmula para
pareça diferente à direita e à esquerda, ambas avaliam
em
porque multiplicam
.
Passo 7
Expressões alternativas e compactas (opcional, só para ganhar visão): como
, pode escrever-se também
onde
é a função sinal (
se
,
se
, e geralmente
). Com a convenção
obtém-se a mesma fórmula definida em todo
. Outra forma é notar que
não é correta (atenção: não confundir termos); a escrita correta e simples é a já encontrada por partes.