(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
f(x)=|x|^{3} \quad 3 x^{2} se x \geq 0 e -3 x^{2} se x<0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} da função f dada por \,f(x)=|x|^{3}\,.
Informações fornecidas (relevantes para a resolução):
  • A função pode ser escrita como função por partes, porque |x| tem representação diferente para x\ge 0 e x<0.
  • Não há outras condições adicionais; a tarefa é aplicar regras de derivação.

Passo 2

Reescrever f(x)=|x|^{3}\) como função por partes — isto é um passo padrão sempre que aparece \(|x|\). Lembrando que \(|x| = x\) se \(x\ge 0\) e \(|x| = -x\) se \(x<0\). Portanto: \[f(x)=|x|^{3}= \begin{cases} x^{3}, & x\ge 0,\\[4pt] (-x)^{3}=-x^{3}, & x<0. \end{cases}
Aqui ficou explícito que para cada intervalo o f\] é uma potência simples (\(x^{3} ou -x^{3}), o que facilita aplicar as regras usuais de derivação.]

Passo 3

Lembrete da regra que vamos usar (a “aula” rápida e prática): regra da potência.
Se g(x)=x^{n} com n constante, então a derivada é
g'(x)=n x^{n-1}.
  • Nesta fórmula, n é o expoente (um número), x é a variável.
  • Exemplo rápido: se g(x)=x^{3} então g'(x)=3x^{2}.
    Também usaremos que a derivada de uma constante multiplicada por função é a constante vezes a derivada: se h(x)=c\cdot u(x) então h'(x)=c\cdot u'(x).

Passo 4

Aplicar a regra da potência no ramo x>0 (direita de zero). Para x>0 temos f(x)=x^{3}. Então, usando a regra da potência:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2},\qquad x>0.
Expliquei passo a passo: peguei n=3 e apliquei n x^{n-1}=3x^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra no ramo x<0 (esquerda de zero). Para x<0 temos f(x)=-x^{3}. Usando linearidade da derivada e a regra da potência:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(-x^{3}\big)=-\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=-3x^{2},\qquad x<0.
Ou seja, a constante -1 sai multiplicando e a derivada de x^{3} é 3x^{2}, resultando em -3x^{2}.

Passo 6

Verificar a derivabilidade em x=0 (muito importante quando se trabalha com |x|). Há duas maneiras equivalentes; uso aqui a checagem por derivadas laterais (ou pela definição do limite):
Derivada à direita em 0:
f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h^{3}-0}{h}=\lim_{h\to 0^{+}}h^{2}=0.
Derivada à esquerda em 0:
f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h^{3}-0}{h}=\lim_{h\to 0^{-}}(-h^{2})=0.
Como as derivadas laterais são iguais ( 0), a derivada em x=0 existe e vale 0:
f'(0)=0.
Observação intuitiva: mesmo que a fórmula para f' pareça diferente à direita e à esquerda, ambas avaliam 0 em x=0 porque multiplicam x^{2}.

Passo 7

Expressões alternativas e compactas (opcional, só para ganhar visão): como x^{2}=|x|^{2}, pode escrever-se também
f'(x)=3x^{2}\operatorname{sgn}(x)\quad\text{para }x\neq 0,
onde \operatorname{sgn}(x) é a função sinal ( \operatorname{sgn}(x)=1 se x>0, -1 se x<0, e geralmente \operatorname{sgn}(0)=0). Com a convenção \operatorname{sgn}(0)=0 obtém-se a mesma fórmula definida em todo \mathbb{R}. Outra forma é notar que f'(x)=3|x|x não é correta (atenção: não confundir termos); a escrita correta e simples é a já encontrada por partes.

Resposta

f'(x)=\begin{cases}3x^{2}, & x>0,\\[4pt]0, & x=0,\\[4pt]-3x^{2}, & x<0.\end{cases}]

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