Verifique se ( \overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}} ) é base, sabendo que \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}= \overrightarrow{e_{3}}, e que ( \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}} ) é base.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se o conjunto \bigl(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\bigr) é uma base, sabendo que:
\overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}},\qquad \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}},\qquad \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{3}},
e que \bigl(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\bigr) é uma base (portanto é um sistema de referência para o espaço de dimensão 3).
Informações relevantes dadas:
  • As expressões das três vetores \overrightarrow{f_{i}} em termos da base \overrightarrow{e_{j}}.
  • A base \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}} já é conhecida como base.

Passo 2

O que significa “ser base” (explicação didática):
  • Um conjunto de vetores é uma base se duas condições ocorrem ao mesmo tempo: os vetores são linearmente independentes e geram (span) o espaço todo. Vou explicar cada conceito com calma.
  • Linearmente independentes significa que a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes são zero). Em símbolos: os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes se, da equação
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=\overrightarrow{0}
segue-se que \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.
  • Gerar o espaço significa que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear daqueles vetores. Em \mathbb{R}^{3} (ou qualquer espaço 3-dimensional), se um conjunto tem exatamente 3 vetores, basta mostrar que eles são linearmente independentes para concluir que formam uma base — porque 3 vetores independentes em um espaço de dimensão 3 já geram o espaço.
  • Portanto, para decidir se \bigl(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\bigr) é base basta testar se esses 3 vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Passo prático: escrever as coordenadas das \overrightarrow{f_{i}} na base \overrightarrow{e_{j}}.
  • Pela definição dada:
\overrightarrow{f_{1}} \longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{f_{2}} \longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{f_{3}} \longleftrightarrow \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Aqui cada coluna é a lista de coeficientes frente a \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}.]

Passo 4

Testar independência montando a combinação linear e resolvendo: procurar \alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha\,\overrightarrow{f_{1}}+\beta\,\overrightarrow{f_{2}}+\gamma\,\overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{0}.
Em coordenadas (usando as colunas do passo anterior) isso vira:
\alpha\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Somando componente a componente obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha+\beta=0,\\[4pt] \alpha+\gamma=0. \end{cases}
As duas primeiras equações são idênticas ( \alpha+\beta=0\]). Das equações segue: \[\beta=-\alpha,\qquad \gamma=-\alpha.\] Isto mostra que qualquer tripla \((\alpha,\beta,\gamma) da forma \bigl(\alpha,-\alpha,-\alpha\bigr) satisfaz a combinação linear nula. Em particular, escolhendo \alpha=1 obtemos uma relação não trivial:
1\cdot\overrightarrow{f_{1}}-1\cdot\overrightarrow{f_{2}}-1\cdot\overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{0},
ou seja,
\overrightarrow{f_{1}}-\overrightarrow{f_{2}}-\overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{0}.
Como existe uma combinação linear não trivial que gera o vetor zero, os vetores são linearmente dependentes.]

Passo 5

Interpretação e conclusão final:
  • Encontramos explicitamente uma relação linear não trivial entre \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}. Isso quebra a condição de independência linear.
  • Como o conjunto não é linearmente independente, ele não pode ser uma base (em um espaço de dimensão 3 um conjunto de 3 vetores forma base somente se for independente).

Resposta

\bigl(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\bigr) não é base.

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