Verifique se ( \overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}} ) é base, sabendo que \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}+\overrightarrow{e_{3}}, \overrightarrow{f_{2}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}= \overrightarrow{e_{3}}, e que ( \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}} ) é base.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se o conjunto \bigl(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\bigr) é uma base, sabendo que:
e que \bigl(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}\bigr) é uma base (portanto é um sistema de referência para o espaço de dimensão 3).
Informações relevantes dadas:
As expressões das três vetores \overrightarrow{f_{i}} em termos da base \overrightarrow{e_{j}}.
A base \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}} já é conhecida como base.
Passo 2
O que significa “ser base” (explicação didática):
Um conjunto de vetores é uma base se duas condições ocorrem ao mesmo tempo: os vetores são linearmente independentes e geram (span) o espaço todo. Vou explicar cada conceito com calma.
Linearmente independentes significa que a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial (todos os coeficientes são zero). Em símbolos: os vetores v_{1},v_{2},v_{3} são linearmente independentes se, da equação
Gerar o espaço significa que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear daqueles vetores. Em \mathbb{R}^{3} (ou qualquer espaço 3-dimensional), se um conjunto tem exatamente 3 vetores, basta mostrar que eles são linearmente independentes para concluir que formam uma base — porque 3 vetores independentes em um espaço de dimensão 3 já geram o espaço.
Portanto, para decidir se \bigl(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\bigr) é base basta testar se esses 3 vetores são linearmente independentes.
Passo 3
Passo prático: escrever as coordenadas das \overrightarrow{f_{i}} na base \overrightarrow{e_{j}}.
Aqui cada coluna é a lista de coeficientes frente a \overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}.]
Passo 4
Testar independência montando a combinação linear e resolvendo: procurar \alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[\alpha\,\overrightarrow{f_{1}}+\beta\,\overrightarrow{f_{2}}+\gamma\,\overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{0}.
Em coordenadas (usando as colunas do passo anterior) isso vira:
As duas primeiras equações são idênticas (\alpha+\beta=0\]). Das equações segue:
\[\beta=-\alpha,\qquad \gamma=-\alpha.\]
Isto mostra que qualquer tripla \((\alpha,\beta,\gamma) da forma \bigl(\alpha,-\alpha,-\alpha\bigr) satisfaz a combinação linear nula. Em particular, escolhendo \alpha=1 obtemos uma relação não trivial:
Como existe uma combinação linear não trivial que gera o vetor zero, os vetores são linearmente dependentes.]
Passo 5
Interpretação e conclusão final:
Encontramos explicitamente uma relação linear não trivial entre \overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}. Isso quebra a condição de independência linear.
Como o conjunto não é linearmente independente, ele não pode ser uma base (em um espaço de dimensão 3 um conjunto de 3 vetores forma base somente se for independente).
Resposta
\bigl(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}\bigr) não é base.