Com relação às equações diferenciais homogêngeas:
(a) Como se caracteriza uma edo homogênea?
(b) Quais as substituições de variáveis recomendadas?
(c) Para o caso de substituir y, por exemplo, como seria substituído d y ? E d yd x ?

Passo 1

O enunciado pergunta sobre equações diferenciais homogêneas: (a) como identificá-las, (b) que trocas de variáveis usar para reduzí-las a separáveis e (c) no caso de substituir y por uma nova variável, como ficam os diferenciais ,dy e ,dy/dx. Para resolver isso vamos revisar a definição de homogeneidade de funções, indicar a sugestão clássica de v=y/x (ou de u=x/y) e deduzir as fórmulas de dy e de dy/dx nessa troca.

Passo 2

(a) Uma equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
é dita homogênea de grau n se M e N são funções homogêneas do mesmo grau n, ou seja, para todo tneq0
M(t x, t y)=t^nM(x,y) e N(t x, t y)=t^nN(x,y)
Na forma dy/dx=f(x,y) dizemos que a EDO é homogênea quando
f(t x,t y)=f(x,y),
isto é, f é homogênea de grau zero e pode ser escrita como função de y/x.

Passo 3

(b) A substituição padrão para uma EDO homogênea de grau zero é
v=yx,
pois aí f(x,y)=fl(1,vr) e a equação se torna separável. Alternativamente, quando convier, pode-se usar
u=xy,
o que dá uma troca análoga levando a uma equação em u e y.

Passo 4

(c) No caso de adotar v=y/x escrevemos y = x,v. Para calcular os diferenciais temos
dy = d(xv) = x,dv + v,dx
e consequentemente
dydx =x,dv + v,dxdx =v + xdvdx
Assim, ao substituir y por v na EDO, trocamos
dy to x,dv + v,dx e dydxto v + xdvdx

Resposta

(a) Uma EDO é homogênea se na forma diferencial M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 ambas as funções são homogêneas do mesmo grau, ou, em dy/dx=f(x,y), se f(tx,ty)=f(x,y) (grau zero).
(b) As trocas recomendadas são v=y/x (ou, alternativamente, u=x/y), que transformam a EDO em separável.
(c) Para v=y/x temos y=xv, daí
dy=x,dv+v,dx, dydx=v+xdvdx

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