Com relação às equações diferenciais homogêngeas:
(a) Como se caracteriza uma edo homogênea?
(b) Quais as substituições de variáveis recomendadas?
(c) Para o caso de substituir
, por exemplo, como seria substituído
?
?
(a) Como se caracteriza uma edo homogênea?
(b) Quais as substituições de variáveis recomendadas?
(c) Para o caso de substituir
Passo 1
O enunciado pergunta sobre equações diferenciais homogêneas: (a) como identificá-las, (b) que trocas de variáveis usar para reduzí-las a separáveis e (c) no caso de substituir
por uma nova variável, como ficam os diferenciais
e
. Para resolver isso vamos revisar a definição de homogeneidade de funções, indicar a sugestão clássica de
(ou de
) e deduzir as fórmulas de
e de
nessa troca.
Passo 2
(a) Uma equação diferencial na forma
é dita homogênea de grau
se
e
são funções homogêneas do mesmo grau
, ou seja, para todo
Na forma
dizemos que a EDO é homogênea quando
isto é,
é homogênea de grau zero e pode ser escrita como função de
.
Passo 3
(b) A substituição padrão para uma EDO homogênea de grau zero é
pois aí
e a equação se torna separável. Alternativamente, quando convier, pode-se usar
o que dá uma troca análoga levando a uma equação em
e
.
Passo 4
(c) No caso de adotar
escrevemos
. Para calcular os diferenciais temos
e consequentemente
Assim, ao substituir
por
na EDO, trocamos
Resposta
(a) Uma EDO é homogênea se na forma diferencial
ambas as funções são homogêneas do mesmo grau, ou, em
, se
(grau zero).
(b) As trocas recomendadas são (ou, alternativamente,
), que transformam a EDO em separável.
(c) Para temos
, daí
(b) As trocas recomendadas são
(c) Para