Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty n-1n^2 raizn

Passo 1

Temos a série sumn=1^inftyn-1n^2raizn. O conteúdo é testes da razão e da raiz para séries numéricas; vamos aplicar as definições de cada teste e ver o que eles nos dizem.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o teste da razão. Definindo an=n-1n^5/2 e an+1=n(n+1)^5/2, temos
an+1an =n(n+1)^5/2n-1n^5/2 =n^7/2(n-1)(n+1)^5/2
Ao calcular o limite, aparece
limntoinftyan+1an=1,
o que torna o teste da razão inconclusivo (pois L=1).

Passo 3

Em seguida, aplicamos o teste da raiz. Calculamos
raiz[n]an =raiz[n]n-1n^5/2 =(n-1)^1/nn^5/(2n)
e, tomando o limite,
limntoinftyraiz[n]an =11=1
Também aqui o teste da raiz é inconclusivo (pois L=1).

Passo 4

Como ambos os testes deram L=1, ou seja, não nos dizem nada sobre convergência, recorremos ao teste de comparação. Para n>=1 vale n-1<n, logo
n-1n^5/2<nn^5/2=1n^3/2
Sabemos que sum1/n^3/2 é convergente (p-série com p=3/2>1), então nossa série original converge por comparação.

Passo 5

Portanto, a série sumn=1^inftyn-1n^2raizn converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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