Resolva os problemas de valor inicial:
e
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Esta é uma equação diferencial de variáveis separáveis: podemos escrever todos os termos em
de um lado e em
do outro para integrar.
Passo 2
Separe as variáveis colocando
sobre a expressão em
e
do outro lado:
Passo 3
Para integrar
, faça a decomposição em frações parciais. Note que
Passo 4
Agora integre ambos os lados:
À direita,
Juntando constantes (
), obtemos
Passo 5
Exponenciando, definindo
K=e^C1 , vem
Resolva para
y :
Passo 6
Imponha a condição inicial
y(1)=2 . Em
x=1 :
Logo a solução fica
Passo 7
Verifique que
y(x)=2 satisfaz
dydx=0 e também
y^2-4=4-4=0 , além de
y(1)=2 . Portanto é a única solução que passa pelo ponto dado.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é