Resolva os problemas de valor inicial:
d yd x=y^2-4 e y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dydx=y^2-4, y(1)=2
Esta é uma equação diferencial de variáveis separáveis: podemos escrever todos os termos em y de um lado e em x do outro para integrar.

Passo 2

Separe as variáveis colocando dy sobre a expressão em y e dx do outro lado:
1y^2-4,dy = dx

Passo 3

Para integrar integral 1/(y^2-4),dy, faça a decomposição em frações parciais. Note que
1y^2-4 = 1(y-2)(y+2) = 14l(1y-2-1y+2r)

Passo 4

Agora integre ambos os lados:
integral 1y^2-4,dy = 14integrall(1y-2-1y+2r),dy = 14l(ln|y-2|-ln|y+2|r)+C
À direita,
integral dx = x + C'
Juntando constantes ( C1=C'-C), obtemos
lnl|y-2y+2r| = 4x + C1

Passo 5

Exponenciando, definindo K=e^C1, vem
y-2y+2 = K,e^4x
Resolva para y:
y-2 = K,e^4x(y+2) Longrightarrow y,(1-K,e^4x) = 2,(1+K,e^4x) Longrightarrow y = 2,1+K,e^4x1-K,e^4x

Passo 6

Imponha a condição inicial y(1)=2. Em x=1:
2 = 2,1+K,e^41-K,e^4 Longrightarrow 1 = 1+K,e^41-K,e^4 Longrightarrow 1-K,e^4=1+K,e^4 Longrightarrow K,e^4=0 Longrightarrow K=0
Logo a solução fica
y(x)=2,1+01-0=2

Passo 7

Verifique que y(x)=2 satisfaz dydx=0 e também y^2-4=4-4=0, além de y(1)=2. Portanto é a única solução que passa pelo ponto dado.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x)=2

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