Com relação as funçẽs abaixo, responda:
A função é contínua em
? Justifique.
A função é contínua em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
dada por
Passo 2
Para aplicar a definição de limite em várias variáveis, uma estratégia comum é verificar se o valor de
ao nos aproximarmos de
depende do caminho. Se existir pelo menos dois caminhos que levem a limites diferentes, o limite não existe.
Passo 3
Considere a reta genérica
, com
constante. Substituindo na parte não trivial de
:
Passo 4
Escolhendo dois valores de
diferentes, obtemos limites distintos:
- Para
(eixo ): . - Para
(reta ): .
Como esses dois limites não coincidem, o limitenão existe.
Passo 5
Pelo fato de o limite não existir, ele não pode ser igual a
. Portanto, pela definição de continuidade,
não é contínua em
.
Resposta
A função não é contínua em (0,0), pois o limite de f(x,y) ao se aproximar de (0,0) depende do caminho e não existe um único valor.