Com relação as funçẽs abaixo, responda:
A função é contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f:R^2toR dada por
f(x,y)= x^2-y^2x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0) é contínua no ponto (0,0). Para isso precisamos usar o conceito de continuidade em funções de duas variáveis: existe lim(x,y)to(0,0)f(x,y) e ele é igual a f(0,0)=0?

Passo 2

Para aplicar a definição de limite em várias variáveis, uma estratégia comum é verificar se o valor de f(x,y) ao nos aproximarmos de (0,0) depende do caminho. Se existir pelo menos dois caminhos que levem a limites diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Considere a reta genérica y=mx, com m constante. Substituindo na parte não trivial de f:
f(x,mx)=x^2-(mx)^2x^2+(mx)^2=x^2-m^2x^2x^2+m^2x^2=1-m^21+m^2 Note que o resultado não depende de x, então ao fazer (x,y)to(0,0) por essa reta, o valor de f tende a (1-m^2)/(1+m^2).

Passo 4

Escolhendo dois valores de m diferentes, obtemos limites distintos:
  • Para m=0 (eixo x): lim f(x,0)=1-0^21+0^2=1.
  • Para m=1 (reta y=x): lim f(x,x)=1-1^21+1^2=0.
    Como esses dois limites não coincidem, o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

Passo 5

Pelo fato de o limite não existir, ele não pode ser igual a f(0,0)=0. Portanto, pela definição de continuidade, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0), pois o limite de f(x,y) ao se aproximar de (0,0) depende do caminho e não existe um único valor.

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