Com relação ao grupo de ponto Td, resolva os seguintes produtos diretos, efetuando a redução de caracteres se necessário.
;
Passo 1
O enunciado pede para decompor o produto direto da representação irreduzível
do grupo de ponto
por ela mesma, ou seja, encontrar a expressão de
em termos das representações irreduzíveis de
. Vamos usar os caracteres e a fórmula de redução.
Passo 2
O grupo
tem ordem
e cinco classes de conjugação:
,
,
,
e
. A representação
possui os seguintes caracteres em cada classe:
,
,
,
e
.
Passo 3
Para o produto direto, os caracteres multiplicam-se classe a classe:
logo obtemos
Passo 4
Aplicamos a fórmula de redução
onde
é o número de elementos da classe
. Fazendo as somas para cada irreduzível
:
Para
(caracteres todos iguais a 1):
Para
(caracteres
):
Para
(caracteres
):
Para
(caracteres
):
Para
(caracteres
):
Passo 5
Os coeficientes de multiplicidade indicam que aparecem uma vez cada
,
,
e
, e
não aparece.