Com relação ao grupo de ponto Td, resolva os seguintes produtos diretos, efetuando a redução de caracteres se necessário.
T2 times T2;

Passo 1

O enunciado pede para decompor o produto direto da representação irreduzível T2 do grupo de ponto Td por ela mesma, ou seja, encontrar a expressão de
T2otimes T2
em termos das representações irreduzíveis de Td. Vamos usar os caracteres e a fórmula de redução.

Passo 2

O grupo Td tem ordem g=24 e cinco classes de conjugação: E, 8C3, 3C2, 6S4 e 6sigmad. A representação T2 possui os seguintes caracteres em cada classe:
chi^T2(E)=3, chi^T2(8C3)=0, chi^T2(3C2)=-1, chi^T2(6S4)=1 e chi^T2(6sigmad)=-1.

Passo 3

Para o produto direto, os caracteres multiplicam-se classe a classe:
chi^T2otimes T2(R);=;chi^T2(R),chi^T2(R),
logo obtemos
chi^T2otimes T2(E)=9, chi^T2otimes T2(8C3)=0, chi^T2otimes T2(3C2)=1, chi^T2otimes T2(6S4)=1, chi^T2otimes T2(6sigmad)=1

Passo 4

Aplicamos a fórmula de redução
aGamma =1gsumini,chi^T2otimes T2(Ri),chi^Gamma(Ri),
onde ni é o número de elementos da classe Ri. Fazendo as somas para cada irreduzível Gamma:
Para Gamma=A1 (caracteres todos iguais a 1):
124l(9cdot1+8cdot0cdot1+3cdot1cdot1+6cdot1cdot1+6cdot1cdot1r) =2424=1
Para Gamma=A2 (caracteres 1,1,1,-1,-1):
124l(9cdot1+8cdot0cdot1+3cdot1cdot1+6cdot1cdot(-1)+6cdot1cdot(-1)r) =024=0
Para Gamma=E (caracteres 2,-1,2,0,0):
124l(9cdot2+8cdot0cdot(-1)+3cdot1cdot2+6cdot1cdot0+6cdot1cdot0r) =2424=1
Para Gamma=T1 (caracteres 3,0,-1,1,-1):
124l(9cdot3+8cdot0cdot0+3cdot1cdot(-1)+6cdot1cdot1+6cdot1cdot(-1)r) =2424=1
Para Gamma=T2 (caracteres 3,0,-1,-1,1):
124l(9cdot3+8cdot0cdot0+3cdot1cdot(-1)+6cdot1cdot(-1)+6cdot1cdot1r) =2424=1

Passo 5

Os coeficientes de multiplicidade indicam que aparecem uma vez cada A1, E, T1 e T2, e A2 não aparece.

Resposta

T2otimes T2 ;=; A1;+;E;+;T1;+;T2

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