Sabendo que:
[I]B^A=(cc-1 & 4 4 & -11) e B=(3,5),(1,2),
Determinar a base A.
12) sabendo que:
[I]B^A=(cc-7 & 6 -11 & 8) e A=(1,3),(2,-4),
Determinar a base B.

Passo 1

Resumindo, estamos em R^2 com a matriz de mudança de coordenadas
[v]B ;=;[I]B^A,[v]A,
cuja j-ésima coluna são as coordenadas de aj (o j-ésimo vetor de A) na base B.
No primeiro item conhecemos [I]B^A e B e precisamos achar A.
No segundo item conhecemos [I]B^A e A e precisamos achar B.

Passo 2

Para o item 1,
IB^A=-1 & 4[2pt]4 & -11, B=,b1=(3,5),;b2=(1,2)
A primeira coluna l(-1,4r) são as coordenadas de a1 em B, logo
a1 = -1,b1 + 4,b2 = -1,(3,5) + 4,(1,2) =(-3,-5)+(4,8)=(1,3)
A segunda coluna l(4,-11r)
a2 = 4,b1 -11,b2 =4,(3,5)-11,(1,2) =(12,20)-(11,22)=(1,-2) ]

Passo 3

Portanto a base A do item 1 é
A = ,a1=(1,3),;a2=(1,-2)

Passo 4

Para o item 12,
IB^A=-7 & 6[2pt]-11 & 8, A=,a1=(1,3),;a2=(2,-4)
As colunas l(-7,-11r) e l(6,8r) são [a1]B e [a2]B, isto é
a1 = -7,b1 -11,b2, a2 = 6,b1 + 8,b2
Chamando b1=(x,y) e b2=(u,v), formam-se dois sistemas independentes:
-7x -11u = 1, 6x + 8u = 2, -7y -11v = 3, 6y + 8v = -4 ]

Passo 5

O determinante comum é
De<a = (-7)cdot8 -(-11)cdot6 = -56 +66 = 10
Do primeiro sistema obtemos
x = 1cdot8 -(-11)cdot210 = 3, u = -7cdot2 -6cdot110 = -2
Do segundo sistema resulta
y = -2, v = 1
Logo
b1 = (3,-2), b2 = (-2,1)

Resposta

A = (1,3),,(1,-2)
B = (3,-2),,(-2,1)

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