A relação entre preço e a demanda para um certo produto é p=-20 e^{-x / 2}, sendo p o preço unitário e x a demanda mensal. Qual é o preço que torna a receita mensal máxima?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre preço unitário p e demanda mensal x pela fórmula
p = -20\,e^{-x/2}.
Como o preço não pode ser negativo, interpretamos que o sinal “ -” está indicando o expoente e que, na verdade, vale
p(x) = 20\,e^{-x/2}.
Queremos maximizar a receita mensal, que é o produto entre preço e quantidade. Para isso vamos usar cálculo de derivada e encontrar o ponto crítico da receita.

Passo 2

Escrevemos a receita mensal R em função de x:
R(x) = x \,p(x) = x \cdot 20\,e^{-x/2} = 20\,x\,e^{-x/2}.

Passo 3

Calculamos a derivada R'(x) aplicando regra do produto e a cadeia:
R'(x) = 20\bigl(e^{-x/2} + x\cdot(-\tfrac12)e^{-x/2}\bigr) =20\,e^{-x/2}\Bigl(1 - \frac{x}{2}\Bigr).
Para ponto crítico, igualamos a zero:
20\,e^{-x/2}\Bigl(1 - \frac{x}{2}\Bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad 1-\frac{x}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.

Passo 4

Verificamos que R'(x) muda de positivo para negativo em x=2, pois para x<2 temos 1-\tfrac{x}{2}>0 e para x>2 temos 1-\tfrac{x}{2}<0. Logo, x=2 é ponto de máximo da receita.

Passo 5

Calculamos o preço correspondente em x=2:
p(2)=20\,e^{-2/2}=20\,e^{-1}=\frac{20}{e}.

Resposta

O preço que torna a receita mensal máxima é \displaystyle \frac{20}{e}.

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