Use o Teorema de L’Hôpital para calcular
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{e^{3 x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^{3x}}
usando o Teorema de L’H^opital. Isso envolve limites de tipo indeterminado \infty/\infty em que aplicamos a regra de derivação de numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação ao fazer x\to\infty:
\ln x\to\infty e e^{3x}\to\infty, logo temos a forma \infty/\infty. Podemos aplicar L’H^opital.

Passo 3

Pela regra de L’H^opital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{e^{3x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(e^{3x})} =\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac1{x}}{3e^{3x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x\,e^{3x}}.

Passo 4

Para x\to\infty, o fator e^{3x} cresce muito mais rápido que x, então
\frac{1}{3x\,e^{3x}}\to0.

Resposta

0

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