Uma empresa que produz um só produto calcula que sua função de custo total diário (em reais) é dada por C(x)=x^{3}-4 x^{2}+17 x+10 e que sua função de receita é R(x)=20 x. Esboçe o gráfico da função lucro diário L(x) utilizando derivadas e determine o valor de x para o qual o lucro diário é máximo.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total diário
C(x)=x^{3}-4x^{2}+17x+10
e a função de receita diária
R(x)=20x.
Queremos esboçar o gráfico da função lucro
L(x)=R(x)-C(x)
e determinar para que valor de x esse lucro é máximo. Vamos usar derivadas para encontrar extremos e analisar o sinal de L'(x).

Passo 2

Calculemos explicitamente L(x):
L(x)=20x-\bigl(x^{3}-4x^{2}+17x+10\bigr)
L(x)=-x^{3}+4x^{2}+3x-10.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, derivamos L(x):
L'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+4x^{2}+3x-10\bigr) =-3x^{2}+8x+3.
Então resolvemos
-3x^{2}+8x+3=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^{2}-8x-3=0.
Usando a fórmula de Bhaskara,
x=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot3\cdot(-3)}}{2\cdot3} =\frac{8\pm\sqrt{64+36}}{6} =\frac{8\pm10}{6},
resultando em
x_{1}=3 \quad\text{e}\quad x_{2}=-\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Como quantidade x não pode ser negativa, o candidato relevante é x=3. Para confirmar que é máximo, usemos a segunda derivada:
L''(x)=\frac{d}{dx}(-3x^{2}+8x+3)=-6x+8.
Em x=3,
L''(3)=-6\cdot3+8=-18+8=-10<0,
o que confirma um ponto de máximo em x=3.

Passo 5

Para esboçar o gráfico de L(x) no domínio x\ge0, notamos:
  1. L(0)=-10 (início em -10).
  2. Cresce até o máximo em (3,\,L(3)).
  3. Calculando L(3):
L(3)=-27+36+9-10=8.
  1. Para x>3, L'(x)<0, então a curva decresce.
    O esboço é de uma cúbica invertida: sobe de -10 em x=0, atinge 8 em x=3 e depois cai.

Resposta

O lucro diário é máximo para x=3 (unidades produzidas), e esse lucro máximo é L(3)=8 reais.

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