Uma empresa que produz um só produto calcula que sua função de custo total diário (em reais) é dada por
e que sua função de receita é
. Esboçe o gráfico da função lucro diário
utilizando derivadas e determine o valor de
para o qual o lucro diário é máximo.
Passo 1
O enunciado dá a função de custo total diário
e a função de receita diária
Queremos esboçar o gráfico da função lucro
e determinar para que valor de
esse lucro é máximo. Vamos usar derivadas para encontrar extremos e analisar o sinal de
.
Passo 2
Calculemos explicitamente
:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, derivamos
:
Então resolvemos
Usando a fórmula de Bhaskara,
resultando em
Passo 4
Como quantidade
não pode ser negativa, o candidato relevante é
. Para confirmar que é máximo, usemos a segunda derivada:
Em
,
o que confirma um ponto de máximo em
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico de
no domínio
, notamos:
-
(início em ). - Cresce até o máximo em
. - Calculando
:
- Para
, , então a curva decresce.
O esboço é de uma cúbica invertida: sobe deem , atinge em e depois cai.
Resposta
O lucro diário é máximo para
(unidades produzidas), e esse lucro máximo é
reais.