Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, considere o ponto A=(2,-1,-1).
a. Determine os pontos D e E, tais que A B \equiv B D e A C \equiv C E, onde B=(0,0,1) e C=(1,0,0).
b. Que propriedade geométrica possuem os pontos A, B e D ?
c. Ache o ponto G, tal que A B C G é um paralelogramo.
d. Localize o ponto H=(2,2,-1) e determine o paralelepípedo que tem entre seus vértices os pontos A, B, C e H, identificando os pontos faltantes.
Passo 1
O enunciado trabalha com geometria vetorial em \mathbb{R}^3. Temos os pontos
e queremos:
a) os pontos D e E tais que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD} e \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CE};
b) a propriedade geométrica de A,B,D;
c) o ponto G que fecha o paralelogramo ABCG;
d) o paralelepípedo de arestas \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH}, identificando os vértices que faltam.
Passo 2
Para achar D usamos
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD} \quad\Longrightarrow\quad B - A = D - B \quad\Longrightarrow\quad D = 2B - A.
Como B=(0,0,1) e A=(2,-1,-1),
D = 2(0,0,1) - (2,-1,-1) = (0,0,2)-(2,-1,-1) = (-2,1,3).
De modo análogo, para E,
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CE} \quad\Longrightarrow\quad C - A = E - C \quad\Longrightarrow\quad E = 2C - A,
e com C=(1,0,0) obtemos
E = 2(1,0,0)-(2,-1,-1) = (2,0,0)-(2,-1,-1) = (0,1,1).
Passo 3
Como \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}, os vetores têm mesma direção e módulo, ou seja, A,B,D são pontos colineares e B é ponto médio de AD.
Passo 4
Para fechar o paralelogramo A\to B\to C\to G, basta fazer
\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BC} \quad\Longrightarrow\quad G = A + (C - B).
O paralelepípedo é gerado pelos vetores \overrightarrow{AB}=B-A, \overrightarrow{AC}=C-A e \overrightarrow{AH}=H-A.
Seja A a origem do paralelepípedo, então os vértices são
D' = A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\quad E' = A+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AH},\quad F' = A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH},\quad V = A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AH}.
Calculando:
D' = (-1,1,2),\quad E' = (1,3,0),\quad F' = (0,3,1),\quad V = (-1,4,2).
Resposta
a) D=(-2,1,3) e E=(0,1,1).
b) A,B,D são colineares e B é ponto médio de AD.
c) G=(3,-1,-2).
d) O paralelepípedo com arestas \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH} tem vértices