Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, considere o ponto A=(2,-1,-1).
a. Determine os pontos D e E, tais que A B \equiv B D e A C \equiv C E, onde B=(0,0,1) e C=(1,0,0).
b. Que propriedade geométrica possuem os pontos A, B e D ?
c. Ache o ponto G, tal que A B C G é um paralelogramo.
d. Localize o ponto H=(2,2,-1) e determine o paralelepípedo que tem entre seus vértices os pontos A, B, C e H, identificando os pontos faltantes.

Passo 1

O enunciado trabalha com geometria vetorial em \mathbb{R}^3. Temos os pontos
A=(2,-1,-1),\quad B=(0,0,1),\quad C=(1,0,0),\quad H=(2,2,-1),
e queremos:
a) os pontos D e E tais que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD} e \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CE};
b) a propriedade geométrica de A,B,D;
c) o ponto G que fecha o paralelogramo ABCG;
d) o paralelepípedo de arestas \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH}, identificando os vértices que faltam.

Passo 2

Para achar D usamos
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD} \quad\Longrightarrow\quad B - A = D - B \quad\Longrightarrow\quad D = 2B - A.
Como B=(0,0,1) e A=(2,-1,-1),
D = 2(0,0,1) - (2,-1,-1) = (0,0,2)-(2,-1,-1) = (-2,1,3).
De modo análogo, para E,
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CE} \quad\Longrightarrow\quad C - A = E - C \quad\Longrightarrow\quad E = 2C - A,
e com C=(1,0,0) obtemos
E = 2(1,0,0)-(2,-1,-1) = (2,0,0)-(2,-1,-1) = (0,1,1).

Passo 3

Como \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}, os vetores têm mesma direção e módulo, ou seja, A,B,D são pontos colineares e B é ponto médio de AD.

Passo 4

Para fechar o paralelogramo A\to B\to C\to G, basta fazer
\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{BC} \quad\Longrightarrow\quad G = A + (C - B).
Como A=(2,-1,-1), C=(1,0,0), B=(0,0,1),
G = (2,-1,-1) + \bigl((1,0,0)-(0,0,1)\bigr) = (2,-1,-1) + (1,0,-1) = (3,-1,-2).

Passo 5

O paralelepípedo é gerado pelos vetores
\overrightarrow{AB}=B-A, \overrightarrow{AC}=C-A e \overrightarrow{AH}=H-A.
Seja A a origem do paralelepípedo, então os vértices são
A,\quad B=A+\overrightarrow{AB},\quad C=A+\overrightarrow{AC},\quad H=A+\overrightarrow{AH},
e os demais:
D' = A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC},\quad E' = A+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AH},\quad F' = A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH},\quad V = A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AH}.
Calculando:
D' = (-1,1,2),\quad E' = (1,3,0),\quad F' = (0,3,1),\quad V = (-1,4,2).

Resposta

a) D=(-2,1,3) e E=(0,1,1).
b) A,B,D são colineares e B é ponto médio de AD.
c) G=(3,-1,-2).
d) O paralelepípedo com arestas \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH} tem vértices
A=(2,-1,-1),\;B=(0,0,1),\;C=(1,0,0),\;H=(2,2,-1),
e os faltantes
D'=(-1,1,2),\;E'=(1,3,0),\;F'=(0,3,1),\;V=(-1,4,2).

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