Relacione os quatro primeiros termos e, se possível, determine o limite de cada uma das sequências.
\left\{\frac{3-2 n^{2}}{n^{2}-1}\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: listar os quatro primeiros termos da sequência e, se possível, determinar o limite quando n\to\infty. A sequência dada é
\left\{\frac{3-2 n^{2}}{n^{2}-1}\right\}.
Informações relevantes que vamos usar:
  • A sequência é definida para inteiros n tais que o denominador não seja zero, ou seja, para n com n^{2}-1\neq0.
  • Observe que n=1 torna n^{2}-1=0, então o termo n=1 não está definido. Portanto, ao falar dos “quatro primeiros termos” tomaremos os quatro primeiros valores de n para os quais a expressão está definida: n=2,3,4,5.
  • Para o limite quando n\to\infty usaremos a técnica padrão para razões de polinômios: dividir numerador e denominador pelo maior grau de n (aqui n^{2}).

Passo 2

Vamos calcular o termo para n=2. Substituindo n=2 em \frac{3-2 n^{2}}{n^{2}-1} temos:
\frac{3-2\cdot 2^{2}}{2^{2}-1}=\frac{3-2\cdot4}{4-1}=\frac{3-8}{3}=\frac{-5}{3}.
Expliquei cada passo: calculei 2^{2}=4, multipliquei por 2 no numerador, subtraí e simplifiquei a fração.

Passo 3

Agora n=3. Substituindo:
\frac{3-2\cdot 3^{2}}{3^{2}-1}=\frac{3-2\cdot9}{9-1}=\frac{3-18}{8}=\frac{-15}{8}.
Novamente calculei 3^{2}=9, multipliquei por 2, fiz a subtração e deixei em forma de fração.

Passo 4

Para n=4:
\frac{3-2\cdot 4^{2}}{4^{2}-1}=\frac{3-2\cdot16}{16-1}=\frac{3-32}{15}=\frac{-29}{15}.
Procedimento idêntico: 4^{2}=16, etc.

Passo 5

Para n=5:
\frac{3-2\cdot 5^{2}}{5^{2}-1}=\frac{3-2\cdot25}{25-1}=\frac{3-50}{24}=\frac{-47}{24}.

Passo 6

Agora vamos determinar o limite quando n\to\infty. A técnica para razões de polinômios é comparar os graus (potências) de n no numerador e no denominador. Aqui ambos têm grau 2 (termo em n^{2}). A forma sistemática é dividir numerador e denominador por n^{2} (o maior grau):
\frac{3-2 n^{2}}{n^{2}-1}=\frac{\frac{3}{n^{2}}-2}{1-\frac{1}{n^{2}}}.
Agora examinamos o comportamento quando n\to\infty. Sabemos que \frac{3}{n^{2}}\to0 e \frac{1}{n^{2}}\to0. Substituindo esses limites:
\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3}{n^{2}}-2}{1-\frac{1}{n^{2}}}=\frac{0-2}{1-0}=\frac{-2}{1}=-2.
Logo a sequência tende para -2 conforme n cresce.

Passo 7

Comentário sobre domínio e interpretação: repetindo, o termo correspondente a n=1 não existe porque o denominador zera. Portanto os quatro primeiros termos definidos são os de n=2,3,4,5 que já calculamos. Além disso, a sequência é aproximadamente -1{,}666, -1{,}875, -1{,}933, -1{,}958 para n=2,3,4,5, mostrando visualmente que os termos se aproximam de -2.

Resposta

Primeiros quatro termos: \displaystyle \frac{-5}{3},\\ \frac{-15}{8},\\ \frac{-29}{15},\\ \frac{-47}{24}
Limite: -2

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