Relacione os quatro primeiros termos e, se possível, determine o limite de cada uma das sequências.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: listar os quatro primeiros termos da sequência e, se possível, determinar o limite quando
. A sequência dada é
Informações relevantes que vamos usar:
- A sequência é definida para inteiros
tais que o denominador não seja zero, ou seja, para com . - Observe que
torna , então o termo não está definido. Portanto, ao falar dos “quatro primeiros termos” tomaremos os quatro primeiros valores de para os quais a expressão está definida: . - Para o limite quando
usaremos a técnica padrão para razões de polinômios: dividir numerador e denominador pelo maior grau de (aqui ).
Passo 2
Vamos calcular o termo para
. Substituindo
em
temos:
Expliquei cada passo: calculei
, multipliquei por
no numerador, subtraí e simplifiquei a fração.
Passo 3
Agora
. Substituindo:
Novamente calculei
, multipliquei por
, fiz a subtração e deixei em forma de fração.
Passo 4
Para
:
Procedimento idêntico:
, etc.
Passo 5
Para
:
Passo 6
Agora vamos determinar o limite quando
. A técnica para razões de polinômios é comparar os graus (potências) de
no numerador e no denominador. Aqui ambos têm grau
(termo em
). A forma sistemática é dividir numerador e denominador por
(o maior grau):
Agora examinamos o comportamento quando
. Sabemos que
e
. Substituindo esses limites:
Logo a sequência tende para
conforme
cresce.
Passo 7
Comentário sobre domínio e interpretação: repetindo, o termo correspondente a
não existe porque o denominador zera. Portanto os quatro primeiros termos definidos são os de
que já calculamos. Além disso, a sequência é aproximadamente
,
,
,
para
, mostrando visualmente que os termos se aproximam de
.
Resposta
Primeiros quatro termos:
Limite:
Limite: