Relacione os quatro primeiros termos e, se possível, determine o limite de cada uma das sequências.
\left\{\frac{3 n^{3}+1}{2 n^{2}+n}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é \left\{\frac{3 n^{3}+1}{2 n^{2}+n}\right\} e pede duas coisas: (i) relacionar os quatro primeiros termos (ou seja, calcular os termos para n=1,2,3,4) e (ii) determinar o limite da sequência quando n\to\infty, se possível. As informações que temos são apenas a expressão do termo geral e que n é o índice da sequência (assumimos n\in\mathbb{N}, começando em 1).

Passo 2

Calcular o termo para n=1. Substituímos n=1 em \frac{3 n^{3}+1}{2 n^{2}+n}:
\frac{3\cdot 1^{3}+1}{2\cdot 1^{2}+1}=\frac{3+1}{2+1}=\frac{4}{3}.

Passo 3

Calcular o termo para n=2. Substituímos n=2:
\frac{3\cdot 2^{3}+1}{2\cdot 2^{2}+2}=\frac{3\cdot 8+1}{2\cdot 4+2}=\frac{24+1}{8+2}=\frac{25}{10}=\frac{5}{2}.

Passo 4

Calcular o termo para n=3. Substituímos n=3:
\frac{3\cdot 3^{3}+1}{2\cdot 3^{2}+3}=\frac{3\cdot 27+1}{2\cdot 9+3}=\frac{81+1}{18+3}=\frac{82}{21}.

Passo 5

Calcular o termo para n=4. Substituímos n=4:
\frac{3\cdot 4^{3}+1}{2\cdot 4^{2}+4}=\frac{3\cdot 64+1}{2\cdot 16+4}=\frac{192+1}{32+4}=\frac{193}{36}.

Passo 6

Resumindo os quatro primeiros termos que calculamos:
\frac{4}{3},\quad \frac{5}{2},\quad \frac{82}{21},\quad \frac{193}{36}.

Passo 7

Agora vamos estudar o limite quando n\to\infty. Dica-prática para sequências racionais (razão de polinômios): o comportamento para n grande é determinado pelos termos de maior grau do numerador e do denominador. Aqui o numerador tem grau 3 (termo líder 3n^3) e o denominador tem grau 2 (termo líder 2n^2). Isso sugere que o quociente cresce como uma constante vezes n^{3-2}=n, ou seja, tende a infinito. Vou tornar isso rigorozo com uma manipulação algébrica simples.

Passo 8

Dividimos numerador e denominador por n^{2} (a maior potência que aparece no denominador) para ver claramente o comportamento:
\frac{3 n^{3}+1}{2 n^{2}+n} = \frac{3 n + \dfrac{1}{n^{2}}}{2 + \dfrac{1}{n}}.
Uma forma útil é reescrever isso como um produto que isola o fator que cresce com n:
\frac{3 n^{3}+1}{2 n^{2}+n} = n\cdot\frac{3 + \dfrac{1}{n^{3}}}{2 + \dfrac{1}{n}}.
Aqui eu apenas fatorizei n do numerador reescrito: 3n+\dfrac{1}{n^{2}} = n\left(3+\dfrac{1}{n^{3}}\right).

Passo 9

Agora analisamos os limites das partes:
\lim_{n\to\infty}\left(3 + \frac{1}{n^{3}}\right)=3 \qquad\text{e}\qquad \lim_{n\to\infty}\left(2 + \frac{1}{n}\right)=2.
Portanto a fração dentro do produto tende a \dfrac{3}{2}:
\lim_{n\to\infty}\frac{3 + \dfrac{1}{n^{3}}}{2 + \dfrac{1}{n}}=\frac{3}{2}.

Passo 10

Como a fração tende a \dfrac{3}{2} (um número positivo) e o fator n tende a +\infty, o produto
n\cdot\frac{3 + \dfrac{1}{n^{3}}}{2 + \dfrac{1}{n}}
tende a +\infty. Intuição: para n grande a expressão é aproximadamente \dfrac{3}{2}\,n, e \dfrac{3}{2}\,n\to+\infty quando n\to\infty. Logo a sequência diverge para +\infty.

Resposta

Primeiros quatro termos: \dfrac{4}{3},\; \dfrac{5}{2},\; \dfrac{82}{21},\; \dfrac{193}{36}
Limite: +\infty

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