Relacione os quatro primeiros termos e, se possível, determine o limite de cada uma das sequências.
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
e pede duas coisas: (i) relacionar os quatro primeiros termos (ou seja, calcular os termos para
) e (ii) determinar o limite da sequência quando
, se possível. As informações que temos são apenas a expressão do termo geral e que
é o índice da sequência (assumimos
, começando em
).
Passo 2
Calcular o termo para
. Substituímos
em
:
Passo 3
Calcular o termo para
. Substituímos
:
Passo 4
Calcular o termo para
. Substituímos
:
Passo 5
Calcular o termo para
. Substituímos
:
Passo 6
Resumindo os quatro primeiros termos que calculamos:
Passo 7
Agora vamos estudar o limite quando
. Dica-prática para sequências racionais (razão de polinômios): o comportamento para
grande é determinado pelos termos de maior grau do numerador e do denominador. Aqui o numerador tem grau
(termo líder
) e o denominador tem grau
(termo líder
). Isso sugere que o quociente cresce como uma constante vezes
, ou seja, tende a infinito. Vou tornar isso rigorozo com uma manipulação algébrica simples.
Passo 8
Dividimos numerador e denominador por
(a maior potência que aparece no denominador) para ver claramente o comportamento:
Uma forma útil é reescrever isso como um produto que isola o fator que cresce com
:
Aqui eu apenas fatorizei
do numerador reescrito:
.
Passo 9
Agora analisamos os limites das partes:
Portanto a fração dentro do produto tende a
:
Passo 10
Como a fração tende a
(um número positivo) e o fator
tende a
, o produto
tende a
. Intuição: para
grande a expressão é aproximadamente
, e
quando
. Logo a sequência diverge para
.
Resposta
Primeiros quatro termos:
Limite:
Limite: