Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em x y^prime-4 y=x^6 e^x e na condição inicial dada.
a) y(0)=0
b) y(0)=y0, y0>0
c) y(x0)=y0, x0>0, y0>0

Passo 1

O problema de valor inicial é dado pela equação
x,y' - 4,y = x^6e^x
com determinada condição inicial. Para discutir existência e unicidade utilizamos o Teorema 1.2.1 (Picard– Lindel"of), que afirma: se conseguirmos escrever a equação na forma
y' = f(x,y)
e mostrarmos que f e partial fpartial y são contínuas num retângulo que contenha o ponto inicial (x0,y0), então há existência e unicidade local de solução do PVI.

Passo 2

Vamos passar para a forma padrão dividindo por x (exceto em x=0):
y' = 4x,y + x^5e^x
Definimos
f(x,y) = 4x,y + x^5e^x, partial fpartial y(x,y) = 4x
Note que f e partial f/partial y são contínuas sempre que xneq 0. Logo, qualquer ponto inicial (x0,y0) com x0neq 0 pertence a uma região onde o teorema garante existência e unicidade.

Passo 3

Analisemos agora a condição y(0)=0. Como em x=0 não podemos reescrever a equação em forma padrão, o Teorema 1.2. 1 não vale nesse ponto. Para entender o comportamento, obtém-se a solução geral por fator integrante:
mu(x)=e^integral -4/x,dx=x^-4, l(x^-4yr)' = x,e^x,
x^-4y = integral x,e^x,dx = (x-1)e^x+C, y(x)=x^4l[(x-1)e^x+Cr]
Ao tomar xto 0 temos
y(0)=0^4l[(0-1)e^0+Cr]=0
independente de C. Portanto existem infinitas soluções satisfazendo y(0)=0 (não há unicidade), mas pelo menos uma solução de fato existe.

Passo 4

Para a condição y(0)=y0 com y0>0, qualquer solução geral satisfaz y(0)=0, logo é impossível atender y(0)=y0>0. Concluímos que não existe solução do PVI nesse caso.

Passo 5

Se a condição inicial for ;y(x0)=y0 com x0>0 (e y0>0 ou qualquer valor), então (x0,y0) está num intervalo onde f e partial f/partial y são contínuas. Pelo Teorema 1.2. 1 existe e é única solução local do PVI.

Resposta

a) Existe solução em torno de 0 mas não é única.
b) Não existe solução para y(0)=y0>0.
c) Para x0>0 e y0>0 existe e é única solução do PVI.

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