Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em
e na condição inicial dada.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O problema de valor inicial é dado pela equação
com determinada condição inicial. Para discutir existência e unicidade utilizamos o Teorema
(Picard– Lindel"of), que afirma: se conseguirmos escrever a equação na forma
e mostrarmos que
e
são contínuas num retângulo que contenha o ponto inicial
, então há existência e unicidade local de solução do PVI.
Passo 2
Vamos passar para a forma padrão dividindo por
(exceto em
):
Definimos
Note que
e
são contínuas sempre que
. Logo, qualquer ponto inicial
com
pertence a uma região onde o teorema garante existência e unicidade.
Passo 3
Analisemos agora a condição
. Como em
não podemos reescrever a equação em forma padrão, o Teorema
.
não vale nesse ponto. Para entender o comportamento, obtém-se a solução geral por fator integrante:
Ao tomar
temos
independente de
. Portanto existem infinitas soluções satisfazendo
(não há unicidade), mas pelo menos uma solução de fato existe.
Passo 4
Para a condição
com
, qualquer solução geral satisfaz
, logo é impossível atender
. Concluímos que não existe solução do PVI nesse caso.
Passo 5
Se a condição inicial for
com
(e
ou qualquer valor), então
está num intervalo onde
e
são contínuas. Pelo Teorema
.
existe e é única solução local do PVI.
Resposta
a) Existe solução em torno de
mas não é única.
b) Não existe solução para .
c) Para e
existe e é única solução do PVI.
b) Não existe solução para
c) Para