Verificar que cada uma das funções dadas y=f(x) é uma solução da equação diferencial dada.
d^2 yd x^2=20 x^3 ; y=x^5+3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
y = x^5 + 3x - 2
é solução da equação diferencial
d^2ydx^2 = 20x^3
Para isso, vamos calcular as derivadas de y até a segunda ordem e comparar com o lado direito da equação.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de y. Como
y = x^5 + 3x - 2,
aplicando a regra de potência e a derivada de constante obtemos
dydx = ddxl(x^5r) + ddxl(3xr) - ddx(2) = 5x^4 + 3 - 0 = 5x^4 + 3

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada de y. Tomando derivada de dydx=5x^4+3, temos
d^2ydx^2 = ddxl(5x^4 + 3r) = 5cdot 4x^3 + 0 = 20x^3

Passo 4

Comparando o resultado com o lado direito da equação diferencial, vemos que
d^2ydx^2 = 20x^3,
que é exatamente a equação dada. Logo, y = x^5 + 3x - 2 satisfaz a equação.

Resposta

A função y = x^5 + 3x - 2 é solução da equação diferencial d^2ydx^2 = 20x^3 pois sua segunda derivada é exatamente 20x^3.

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