Usando as transformações de Lorentz, mostre que para dois eventos infinitesimais,
, calculando explicitamente
em termos de
e
.
Passo 1
O que o problema pede e que informações temos\n
- Precisamos mostrar que o intervalo invariante entre dois eventos infinitesimais é o mesmo em duas referenciais relacionados por transformação de Lorentz. Em linguagem matemática, devemos calcular explicitamente
em termos de e e verificar que é igual a .\n - Informações dadas (implícitas no enunciado): estamos usando a transformação de Lorentz padrão (boost ao longo do eixo
) com velocidade relativa entre referenciais. A velocidade da luz é . Vamos considerar separações infinitesimais entre dois eventos, então podemos usar diferenciais e suas transformadas .
Passo 2
Lembrando a forma da transformação de Lorentz e o fator
\n
- A transformação de Lorentz (para um boost ao longo de
) escreve as transformações das coordenadas spacetime:
onde
- Explicação do que é
: é o chamado fator de Lorentz; ele aparece para garantir que as transformações preservam a velocidade da luz e as leis da física entre referenciais em movimento relativo. Note que depende apenas de .
Passo 3
Passar das coordenadas finitas para diferenciais (porque lidamos com dois eventos infinitesimais)\n
- Para dois eventos muito próximos, as diferenças coordenadas satisfazem as versões diferenciais das transformações. Derivando linearmente, obtemos:
- Justificativa curta: as transformações são lineares em
e , então as diferenças também seguem a mesma forma com as mesmas constantes e .
Passo 4
Escrever a expressão que queremos calcular usando as diferenciais transformadas\n
- Substituímos as expressões de
e em :
- Nosso objetivo agora é expandir os quadrados e simplificar para escrever em termos de
e (e eventualmente ), mostrando o que cancela.
Passo 5
Expandir os quadrados e simplificar passo a passo\n
- Primeiro expandimos cada termo:
- Multiplicamos o segundo por
:
- Subtraindo os dois resultados dentro dos colchetes:
- Observe que os termos em
se cancelam (eles aparecem com sinais opostos), portanto:
Passo 6
Agrupar fatores e usar a identidade envolvendo
\n
- Colocando os termos com
e com fator comum:
- Fatorando
:
- Lembrando que
, substituímos de volta o fator que estava fora dos colchetes:
- Mas
. Portanto obtemos
Passo 7
Interpretação final e comentário didático\n
- Concluímos que o intervalo diferencial
é invariante sob transformação de Lorentz: o mesmo valor num sistema primado e num sistema não-primado. Isso significa que separações espaço‑temporais classificadas como espaço‑like, time‑like ou light‑like permanecem dessa forma em todos os referenciais inerciais.\n - Dica prática para prova: sempre que ver transformações lineares (como Lorentz) e pedirem intervalos infinitesimais, aplique as transformações aos diferenciais, expanda os quadrados com calma e procure cancelamentos (como o termo misto aqui). O uso da identidade
costuma ser a chave.