Usando as transformações de Lorentz, mostre que para dois eventos infinitesimais, d s^{2}= d s^{\prime 2}, calculando explicitamente d x^{\prime 2}-c^{2} d t^{\prime 2} em termos de d x e d t.

Passo 1

O que o problema pede e que informações temos\n
  • Precisamos mostrar que o intervalo invariante entre dois eventos infinitesimais é o mesmo em duas referenciais relacionados por transformação de Lorentz. Em linguagem matemática, devemos calcular explicitamente \,d x^{\prime 2}-c^{2} d t^{\prime 2}\, em termos de \,d x e \,d t e verificar que é igual a \,d x^{2}-c^{2} d t^{2}.\n
  • Informações dadas (implícitas no enunciado): estamos usando a transformação de Lorentz padrão (boost ao longo do eixo x) com velocidade relativa \,v entre referenciais. A velocidade da luz é \,c. Vamos considerar separações infinitesimais entre dois eventos, então podemos usar diferenciais \,d x, d t e suas transformadas \,d x', d t'.

Passo 2

Lembrando a forma da transformação de Lorentz e o fator \gamma\n
  • A transformação de Lorentz (para um boost ao longo de x) escreve as transformações das coordenadas spacetime:
x'=\gamma\,(x-vt),
t'=\gamma\!\left(t-\frac{v}{c^{2}}x\right),
onde
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
  • Explicação do que é \gamma: é o chamado fator de Lorentz; ele aparece para garantir que as transformações preservam a velocidade da luz e as leis da física entre referenciais em movimento relativo. Note que \gamma depende apenas de \dfrac{v^{2}}{c^{2}}.

Passo 3

Passar das coordenadas finitas para diferenciais (porque lidamos com dois eventos infinitesimais)\n
  • Para dois eventos muito próximos, as diferenças coordenadas satisfazem as versões diferenciais das transformações. Derivando linearmente, obtemos:
d x'=\gamma\,(d x - v\,d t),
d t'=\gamma\!\left(d t - \frac{v}{c^{2}}\,d x\right).
  • Justificativa curta: as transformações são lineares em x e t, então as diferenças também seguem a mesma forma com as mesmas constantes \gamma e v.

Passo 4

Escrever a expressão que queremos calcular usando as diferenciais transformadas\n
  • Substituímos as expressões de d x' e d t' em \,d x^{\prime 2}-c^{2} d t^{\prime 2}:
d x^{\prime 2}-c^{2} d t^{\prime 2} =\gamma^{2}\Big[(d x - v\,d t)^{2}-c^{2}\Big(d t-\frac{v}{c^{2}}\,d x\Big)^{2}\Big].
  • Nosso objetivo agora é expandir os quadrados e simplificar para escrever em termos de d x^{2} e d t^{2} (e eventualmente d x\,d t), mostrando o que cancela.

Passo 5

Expandir os quadrados e simplificar passo a passo\n
  • Primeiro expandimos cada termo:
(d x - v\,d t)^{2}=d x^{2}-2v\,d x\,d t+v^{2}d t^{2},
\Big(d t-\frac{v}{c^{2}}\,d x\Big)^{2}=d t^{2}-2\frac{v}{c^{2}}\,d x\,d t+\frac{v^{2}}{c^{4}}\,d x^{2}.
  • Multiplicamos o segundo por c^{2}:
c^{2}\Big(d t-\frac{v}{c^{2}}\,d x\Big)^{2}=c^{2}d t^{2}-2v\,d x\,d t+\frac{v^{2}}{c^{2}}\,d x^{2}.
  • Subtraindo os dois resultados dentro dos colchetes:
(d x - v\,d t)^{2}-c^{2}\Big(d t-\frac{v}{c^{2}}\,d x\Big)^{2}
=\big(d x^{2}-2v\,d x\,d t+v^{2}d t^{2}\big)-\big(c^{2}d t^{2}-2v\,d x\,d t+\tfrac{v^{2}}{c^{2}}d x^{2}\big).
  • Observe que os termos em -2v\,d x\,d t se cancelam (eles aparecem com sinais opostos), portanto:
=\;d x^{2}-c^{2}d t^{2}+v^{2}d t^{2}-\tfrac{v^{2}}{c^{2}}d x^{2}.

Passo 6

Agrupar fatores e usar a identidade envolvendo \gamma\n
  • Colocando os termos com d x^{2} e d t^{2} com fator comum:
=\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)d x^{2}-c^{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)d t^{2}.
  • Fatorando \left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right):
=\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\big(d x^{2}-c^{2}d t^{2}\big).
  • Lembrando que \gamma^{2}=\dfrac{1}{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}, substituímos de volta o fator \gamma^{2} que estava fora dos colchetes:
d x^{\prime 2}-c^{2}d t^{\prime 2} =\gamma^{2}\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\big(d x^{2}-c^{2}d t^{2}\big).
  • Mas \gamma^{2}\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)=1. Portanto obtemos
d x^{\prime 2}-c^{2}d t^{\prime 2}=d x^{2}-c^{2}d t^{2}.

Passo 7

Interpretação final e comentário didático\n
  • Concluímos que o intervalo diferencial \,d s^{2}=d x^{2}-c^{2}d t^{2}\, é invariante sob transformação de Lorentz: o mesmo valor num sistema primado e num sistema não-primado. Isso significa que separações espaço‑temporais classificadas como espaço‑like, time‑like ou light‑like permanecem dessa forma em todos os referenciais inerciais.\n
  • Dica prática para prova: sempre que ver transformações lineares (como Lorentz) e pedirem intervalos infinitesimais, aplique as transformações aos diferenciais, expanda os quadrados com calma e procure cancelamentos (como o termo misto aqui). O uso da identidade \gamma^{2}(1-v^{2}/c^{2})=1 costuma ser a chave.

Resposta

d x^{\prime 2}-c^{2}d t^{\prime 2}=d x^{2}-c^{2}d t^{2}.

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