Um relógio mecânico de parede apresenta ponteiro dos minutos com 0,5 m de comprimento e o ponteiro das horas com 0,25 m. Representando o ponteiro dos minutos por um vetor A e o das horas por um vetor B, determine o ângulo entre eles e o módulo de A-B para os instantes em que o relógio marca:
3 h 30 m

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores no plano que representam os ponteiros de um relógio: o vetor A dos minutos, de módulo |A|=0,5 m, e o vetor B das horas, de módulo |B|=0,25 m.
O que pedem é (1) o ângulo entre eles e (2) o módulo de A-B no instante 3 h 30 min. Vamos usar conceitos de orientação de vetores e a lei dos cossenos para a diferença vetorial.

Passo 2

Escolhemos como referência o sentido horário a partir do ponteiro das 12 h.
– Às 30 min, o ponteiro dos minutos gira tfrac3060times360^circ=180^circ.
Logo, o vetor minuto A está na direção de 180^circ.

Passo 3

Às 3 h 30 min, o ponteiro das horas já avançou meia hora além das 3 h. Cada hora equivale a 30^circ, então
ângulo das horas = 3,5times30^circ = 105^circ â
Assim, o vetor hora B está na direção de 105^circ.

Passo 4

O ângulo theta entre A e B é a diferença absoluta das direções:
theta = |180^circ - 105^circ| = 75^circ

Passo 5

Para o módulo de A-B usamos a lei dos cossenos num triângulo com lados |A|, |B| e ângulo theta entre eles:
|A-B| = raiz|A|^2 + |B|^2 - 2,|A|,|B|costheta = raiz(0,5)^2 + (0,25)^2 - 2cdot0,5cdot0,25cos75^circ
Sabendo que cos75^circapprox0,2588, obtemos
|A-B| approx raiz0,25 + 0,0625 - 0,25cdot0,2588 approx raiz0,2478 approx 0,498 m

Resposta

O ângulo entre A e B é 75^circ e
|A-B|approx0,498 m.

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