Um relógio mecânico de parede apresenta ponteiro dos minutos com
de comprimento e o ponteiro das horas com
. Representando o ponteiro dos minutos por um vetor
das horas por um vetor B, determine o ângulo entre eles e o módulo de A-B para os instantes em que o relógio marca:
3 h 30 m
3 h 30 m
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores no plano que representam os ponteiros de um relógio: o vetor
dos minutos, de módulo
m, e o vetor
das horas, de módulo
m.
O que pedem é (1) o ângulo entre eles e (2) o módulo de no instante 3 h 30 min. Vamos usar conceitos de orientação de vetores e a lei dos cossenos para a diferença vetorial.
O que pedem é (1) o ângulo entre eles e (2) o módulo de
Passo 2
Escolhemos como referência o sentido horário a partir do ponteiro das 12 h.
– Às 30 min, o ponteiro dos minutos gira .
Logo, o vetor minuto está na direção de
.
– Às 30 min, o ponteiro dos minutos gira
Logo, o vetor minuto
Passo 3
Às 3 h 30 min, o ponteiro das horas já avançou meia hora além das 3 h. Cada hora equivale a
, então
Assim, o vetor hora
está na direção de
.
Passo 4
O ângulo
entre
e
é a diferença absoluta das direções:
Passo 5
Para o módulo de
usamos a lei dos cossenos num triângulo com lados
,
e ângulo
entre eles:
Sabendo que
, obtemos
Resposta
O ângulo entre
e
é
e
m.