Um relógio mecânico de parede apresenta ponteiro dos minutos com
de comprimento e o ponteiro das horas com
. Representando o ponteiro dos minutos por um vetor
das horas por um vetor B, determine o ângulo entre eles e o módulo de A-B para os instantes em que o relógio marca:
7 h 15 m
7 h 15 m
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um relógio cujos ponteiros dos minutos e das horas são representados pelos vetores
e
de comprimentos
m e
m, respectivamente. No instante das 7 h 15 m, pede-se (i) o ângulo entre
e
e (ii) o módulo de
. O conteúdo principal é representação vetorial em coordenadas e uso do produto escalar.
Passo 2
Escolhemos um sistema de eixos ortonormais com:
- eixo
apontando para as 3 h, - eixo
para as 12 h.
O ponteiro dos minutos em 15 min está na posição das 3 h, isto é, na direção positiva de
. Logo,
O ponteiro das horas às 7 h 15 m faz um ângulo de
no sentido horário a partir de 12 h. Em coordenadas padrão (ângulo medido positivamente a partir de
no sentido anti-horário), esse ângulo vale
Assim,
Passo 3
Para encontrar o ângulo
entre
e
usamos
Como
temos
Passo 4
O módulo de
é dado por
Substituindo
,
e
, obtemos
Resposta
Ângulo entre
e
:
.
Módulo de :
m.
Módulo de