Um relógio mecânico de parede apresenta ponteiro dos minutos com 0,5 m de comprimento e o ponteiro das horas com 0,25 m. Representando o ponteiro dos minutos por um vetor A e o das horas por um vetor B, determine o ângulo entre eles e o módulo de A-B para os instantes em que o relógio marca:
7 h 15 m

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um relógio cujos ponteiros dos minutos e das horas são representados pelos vetores A e B de comprimentos 0,5 m e 0,25 m, respectivamente. No instante das 7 h 15 m, pede-se (i) o ângulo entre A e B e (ii) o módulo de A-B. O conteúdo principal é representação vetorial em coordenadas e uso do produto escalar.

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos ortonormais com:
  • eixo x apontando para as 3 h,
  • eixo y para as 12 h.
O ponteiro dos minutos em 15 min está na posição das 3 h, isto é, na direção positiva de x. Logo,
A = (0,5,,0),m
O ponteiro das horas às 7 h 15 m faz um ângulo de
(7 + 15/60)times 30^circ = 217,5^circ
no sentido horário a partir de 12 h. Em coordenadas padrão (ângulo medido positivamente a partir de x no sentido anti-horário), esse ângulo vale
theta = 90^circ - 217,5^circ = -127,5^circ(ou 232,5^circ)
Assim,
B = 0,25,l(costheta,;sinthetar),m

Passo 3

Para encontrar o ângulo phi entre A e B usamos
cosphi = AcdotB|A|,|B|
Como
AcdotB = 0,5times0,25costheta e theta = -127,5^circ,
temos
cosphi = cos(127,5^circ) Longrightarrow phi = 127,5^circ

Passo 4

O módulo de A-B é dado por
|A-B| = raiz|A|^2 + |B|^2 - 2,AcdotB
Substituindo |A|=0,5, |B|=0,25 e AcdotB=0,5cdot0,25cos127,5^circ, obtemos
|A-B| approx 0,682 m

Resposta

Ângulo entre A e B: 127,5^circ.
Módulo de A-B: 0,682 m.

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