Um relógio mecânico de parede apresenta ponteiro dos minutos com
de comprimento e o ponteiro das horas com
. Representando o ponteiro dos minutos por um vetor
das horas por um vetor B, determine o ângulo entre eles e o módulo de A-B para os instantes em que o relógio marca:
6 h 30 m
6 h 30 m
Passo 1
O relógio tem ponteiro dos minutos de comprimento
e ponteiro das horas de comprimento
. Vamos representá-los por vetores
(minutos) e
(horas) num plano com eixo
para a direita e
para cima. Para isso:
– Definimos o ângulo do ponteiro medido a partir do “12 horas” no sentido horário:
– Definimos o ângulo do ponteiro medido a partir do “12 horas” no sentido horário:
– Como o “12” fica no eixo
positivo, a conversão para coordenadas cartesianas é
Com isso podemos usar o produto escalar para achar o ângulo entre
e
e a diferença vetorial
para achar seu módulo.
Passo 2
No instante
temos
e
. Logo
Passo 3
Para o ponteiro das horas,
Passo 4
O produto escalar vale
Como
e
, o cosseno do ângulo entre eles é
daí
Passo 5
Para o módulo de
podemos usar
Resposta
Ângulo entre os ponteiros:
Módulo de : aproximadamente
Módulo de