Um relógio mecânico de parede apresenta ponteiro dos minutos com 0,5 m de comprimento e o ponteiro das horas com 0,25 m. Representando o ponteiro dos minutos por um vetor A e o das horas por um vetor B, determine o ângulo entre eles e o módulo de A-B para os instantes em que o relógio marca:
6 h 30 m

Passo 1

O relógio tem ponteiro dos minutos de comprimento 0,5 m e ponteiro das horas de comprimento 0,25 m. Vamos representá-los por vetores A (minutos) e B (horas) num plano com eixo x para a direita e y para cima. Para isso:
– Definimos o ângulo do ponteiro medido a partir do “12 horas” no sentido horário:
thetam=360^circcdotm60, thetah=360^circcdot60,h+m720
– Como o “12” fica no eixo y positivo, a conversão para coordenadas cartesianas é
A=0,5l(sinthetam,;costhetamr), B=0,25l(sinthetah,;costhetahr)
Com isso podemos usar o produto escalar para achar o ângulo entre A e B e a diferença vetorial A-B para achar seu módulo.

Passo 2

No instante 6h,30m temos m=30 e h=6. Logo
thetam=360^circcdot3060=180^circ,
A =0,5l(sin180^circ,;cos180^circr) =0,5l(0,;-1r) =(0,;-0,5)

Passo 3

Para o ponteiro das horas,
thetah=360^circcdot60cdot6+30720 =360^circcdot390720=195^circ,
B =0,25l(sin195^circ,;cos195^circr) approx0,25l(-0,25882,;-0,96593r) approx(-0,06471,;-0,24148)

Passo 4

O produto escalar vale
AcdotB =(0)cdot(-0,06471)+(-0,5)cdot(-0,24148) =0,12074
Como |A|=0,5 e |B|=0,25, o cosseno do ângulo entre eles é
costheta =AcdotB|A||B| =0,120740,5cdot0,25 approx0,96593,
daí
theta=arccos(0,96593)approx15^circ

Passo 5

Para o módulo de A-B podemos usar
|A-B| =raiz|A|^2+|B|^2-2,AcdotB =raiz0,5^2+0,25^2-2cdot0,12074 approx0,2665 m

Resposta

Ângulo entre os ponteiros: 15^circ
Módulo de A-B: aproximadamente 0,266 m

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