Reorganize as expressões abaixo para amenizar possíveis erros de cálculo. Escolha valores para
que evidenciem os erros.
Passo 1
Beleza, temos a expressão
e o enunciado pede pra “reorganizar” ela de um jeito que evite erros numéricos quando
é muito pequeno. Isso cai em uma parte da matéria de análise numérica: “cancelamento catastrófico” ou “erros por subtração de valores quase iguais”. Pra resolver, a gente vai usar manipulação algébrica (racionalizar usando o conjugado) e depois testar com valores de
próximos de zero que mostrem o erro.
Passo 2
Vamos racionalizar a expressão, ou seja, multiplicar e dividir pelo conjugado de
, que é
. Assim:
Pronto! A forma reorganizada é
Passo 3
Agora, para ver por que isso ajuda, escolhemos um
muito pequeno, digamos
- Usando a fórmula original
em aritmética de máquina (dupla precisão),
acaba sendo exatamente 1 (porque
é menor que o “eps” ~
), então o resultado cai em zero:
Mas o valor “verdadeiro” disso é aproximadamente
- Já usando a forma reorganizada
em dupla precisão a gente calcula
, mas como agora está no denominador somado a 1, ninguém faz subtração de duas aprox. iguais. O resultado sai bem próximo de
que é o valor correto.
Resposta
A expressão reorganizada que evita cancelamento é
Um valor de
como
deixa claro o erro: na forma original dá zero, e na forma racionalizada dá
, que é o valor certo.