Reorganize as expressões abaixo para amenizar possíveis erros de cálculo. Escolha valores para x que evidenciem os erros.
raiz1+x-1

Passo 1

Beleza, temos a expressão
raiz1+x ;-; 1
e o enunciado pede pra “reorganizar” ela de um jeito que evite erros numéricos quando é muito pequeno. Isso cai em uma parte da matéria de análise numérica: “cancelamento catastrófico” ou “erros por subtração de valores quase iguais”. Pra resolver, a gente vai usar manipulação algébrica (racionalizar usando o conjugado) e depois testar com valores de próximos de zero que mostrem o erro.

Passo 2

Vamos racionalizar a expressão, ou seja, multiplicar e dividir pelo conjugado de raiz1+x - 1 = l(raiz1+x - 1r),raiz1+x + 1raiz1+x + 1 = (raiz1+x)^2 - 1^2raiz1+x + 1 = 1+x - 1raiz1+x + 1 = xraiz1+x + 1 , que é boxedxraiz1+x + 1 . Assim:
Pronto! A forma reorganizada é

Passo 3

Agora, para ver por que isso ajuda, escolhemos um x = 10^-16 muito pequeno, digamos
raiz1 + 10^-16 - 1,
  1. Usando a fórmula original
raiz1+10^-16 - 1 approx 0
em aritmética de máquina (dupla precisão), raiz1+10^-16 - 1 approx 5 times 10^-17 acaba sendo exatamente 1 (porque xraiz1+x + 1 = 10^-16raiz1+10^-16 + 1 é menor que o “eps” ~ 10^-161 + 1 = 5times10^-17, ), então o resultado cai em zero:
Mas o valor “verdadeiro” disso é aproximadamente
  1. Já usando a forma reorganizada
em dupla precisão a gente calcula
, mas como agora está no denominador somado a 1, ninguém faz subtração de duas aprox. iguais. O resultado sai bem próximo de
que é o valor correto.

Resposta

A expressão reorganizada que evita cancelamento é
boxedxraiz1+x + 1
Um valor de como deixa claro o erro: na forma original dá zero, e na forma racionalizada dá , que é o valor certo.

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