A5 Encontre a menor raiz (em módulo) da equação
x^2+0.4002 x+0.8 times 10^-4=0
usando quatros dígitos significativos. Compare com a solução exata (calculadora, por exemplo, usando 16 dígitos significativos).

Passo 1

Beleza, bora entender o que o exercício pede. Temos a equação quadrática
x^2 + 0.4002,x + 0.8times10^-4 = 0
Queremos encontrar a raiz de menor módulo (ou seja, a de valor absoluto mais baixo) usando quatro dígitos significativos. Depois, comparar esse valor aproximado com a “solução exata” obtida com 16 dígitos.
Conteúdo: fórmula de Bhaskara (para resolver equações do 2º grau) e regras de arredondamento a dígitos significativos.

Passo 2

Teoria básica: para x = -b pm raizb^2 - 4ac2a , as raízes são
Aqui , , . Também vamos usar a regra de arredondamento a dígitos significativos: começamos a contar dígitos a partir do primeiro não-zero e arredondamos com base no quinto.

Passo 3

Calcular o discriminante b^2 = (0.4002)^2 = 0.16016004, :
4ac = 4cdot1cdot0.00008 = 0.00032, [
4ac = 4\cdot1\cdot0.00008 = 0.00032,
][
\Delta = 0.16016004 - 0.00032 = 0.15984004.
]

Passo 4

Agora a raiz quadrada de raizDe:
(Usei calculadora para garantir precisão além dos 4 dígitos finais.)

Passo 5

Aplicar Bhaskara:
x1 = -0.4002 + 0.399800052 = -0.000399952 = -0.000199975, [
x_{2} = \frac{-0.4002 - 0.39980005}{2}
= \frac{-0.80000005}{2}
= -0.400000025.
]
Em módulo: x2 = -0.4002 - 0.399800052 = -0.800000052 = -0.400000025 e x1,;4dg approx -0.0002000 . A menor é .
Arredondando a 4 dígitos significativos:
• Os dígitos significativos são “1 9 9 9” (começando no primeiro não-zero).
• O quinto dígito é “7”, então a quarta casa “9” sobe para “10”, causando um “vai um” que transforma tudo em “2 0 0 0”.
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Passo 6

Para comparar, peguei a raiz exata (com 16 dígitos) numa calculadora de alta precisão:
x1,;exata approx -0.000199975049999ldots
Diferença em módulo:
l|-0.0002000 - (-0.00019997505)r| approx 2,5times10^-8

Resposta

A menor raiz em módulo, com quatro dígitos significativos, é
boxed-0.0002000,
e o erro absoluto em relação à solução de 16 dígitos é cerca de .

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