A3 Avalie as expressões abaixo em um sistema de ponto flutuante com cinco dígitos significativos. Compute o erro relativo em cada operação executada e no resultado final. Identifique qual a operação contribuiu mais expressivamente para o erro final.
10000+sumn=1^25000 0.4 ;

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular em ponto-flutuante decimal com 5 dígitos significativos a expressão
10000 + sumn=1^25000 0.4
e, em cada operação, achar o erro relativo, inclusive no resultado final, e dizer qual operação “matou” mais o resultado. O conteúdo aqui é: representação em ponto-flutuante normalizado (5 dígitos), arredondamento em cada soma, erro de arredondamento e erro relativo.

Passo 2

Vamos lembrar rápido como é o formato: todo número é armazenado como
pm d0d1d2d3d4 times 10^e,
com 5 dígitos De. Quando você soma dois números, o menor pode até sumir se for mais “miúdo” que o passo do maior. O passo (distância entre vizinhos) de um valor varepsilonrel = |fl(x)-x||x| é
(aqui ). O erro relativo de uma operação que de fato deveria dar mas retorna é

Passo 3

A gente vai avaliar “por fora” como se fôssemos computar em código:
inicializamos Sn = fll(Sn-1 + 0.4r) , e para De fazemos
fl(10000 + 0.4) = 10000
Repare que é representado como . O passo aqui é
Como , toda vez que tentarmos somar a (ou a qualquer que permaneça em torno de ), o termo pequeno não muda o bit menos significativo do mantissa, ou seja
Isso vale para a primeira soma e para todas as 25000 somas seguintes: o acumulador nunca sai de 10000.

Passo 4

Erro relativo de cada soma
Cada operação deveria produzir
x = Sn-1 + 0.4 = 10000.4,
mas obtém varepsilonn ;=;|10000 - 10000.4|10000.4 ;=;0.410000.4 approx 4.000 times 10^-5 . Então para cada :

Passo 5

Resultado final
S25000 = 10000
enquanto o valor exato seria
10000 + 25000cdot0.4 = 20000
Erro relativo final
varepsilonfinal = |10000 - 20000|20000 = 0.5 (50%!)
A operação que mais contribuiu para esse erro foi a primeira soma , pois a partir daí o acumulador já ficou “travado” em 10000 e todas as outras somas repetiram o mesmo arredondamento.

Resposta

Resultado computado: 10000
Erro relativo de cada soma:
Erro relativo final: 0.5 (50 %)
Operação mais danosa: a primeira soma (onde o 0.4 foi totalmente perdido).

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