Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada.
\delta(s)=\frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left(\cos \left(\ln \frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right), \operatorname{sen}\left(\ln \frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a espiral logarítmica
\gamma(t)=e^{t}\bigl(\cos t,\;\operatorname{sen} t\bigr),
tomando como ponto inicial t=0. Para isso precisamos:
– calcular \gamma'(t) e sua norma (velocidade);
– obter a função comprimento de arco \;s(t)=\int_{0}^{t}\|\gamma'(\tau)\|\,d\tau;
– inverter s(t) para t(s);
– substituir na expressão de \gamma para achar \delta(s)=\gamma\bigl(t(s)\bigr).

Passo 2

Calcular a derivada
\gamma'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl[e^t(\cos t,\operatorname{sen} t)\Bigr] =e^t\bigl(\cos t-\operatorname{sen} t,\;\operatorname{sen} t+\cos t\bigr).
A norma é
\|\gamma'(t)\| =e^t\sqrt{(\cos t-\operatorname{sen} t)^2+(\operatorname{sen} t+\cos t)^2} =e^t\sqrt{2}.

Passo 3

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\gamma'(\tau)\|\,d\tau =\int_{0}^{t}e^\tau\sqrt{2}\,d\tau =\sqrt{2}\bigl(e^t-1\bigr).

Passo 4

Invertendo s=\sqrt{2}(e^t-1) temos
e^t=\frac{s}{\sqrt{2}}+1 \quad\Longrightarrow\quad t=\ln\!\Bigl(\frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 5

Substituindo t(s) em \gamma(t) chega-se à parametrização por comprimento de arco
\delta(s) =\gamma\!\Bigl(t(s)\Bigr) =e^{\,t(s)}\Bigl(\cos t(s),\;\operatorname{sen} t(s)\Bigr) =\frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Bigl(\cos\!\ln\!\tfrac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}},\; \operatorname{sen}\!\ln\!\tfrac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\Bigr).

Resposta

\boxed{ \delta(s) =\frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Bigl(\cos\!\ln\!\tfrac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}},\; \operatorname{sen}\!\ln\!\tfrac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\Bigr), \quad s\ge0. }

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