Reparametrize pelo comprimento de arco a curva γ dada.
\delta(s)=\frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left(\cos \left(\ln \frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right), \operatorname{sen}\left(\ln \frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right)\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas cartesianas \displaystyle \gamma(\theta) = \bigl(e^{\theta}\cos\theta,\;e^{\theta}\sin\theta\bigr),
com \theta\ge0, e pede uma reparametrização pelo comprimento de arco s.

Passo 2

Vamos calcular a função comprimento de arco
s(\theta) =\int_{0}^{\theta}\|\gamma'(\tau)\|\,d\tau.
Primeiro, note que
\gamma'(\tau) =\bigl(e^{\tau}\cos\tau - e^{\tau}\sin\tau,\;e^{\tau}\sin\tau + e^{\tau}\cos\tau\bigr) =e^{\tau}(\cos\tau-\sin\tau,\;\sin\tau+\cos\tau),
e portanto
\|\gamma'(\tau)\| =\sqrt{e^{2\tau}\bigl[(\cos\tau-\sin\tau)^2+(\sin\tau+\cos\tau)^2\bigr]} =\sqrt{2}\,e^{\tau}.
Assim
s(\theta) =\int_{0}^{\theta}\sqrt{2}\,e^{\tau}\,d\tau =\sqrt{2}\bigl(e^{\theta}-1\bigr).

Passo 3

Invertendo s(\theta)=\sqrt{2}(e^{\theta}-1) para achar \theta em função de s, obtemos
e^{\theta} =1+\frac{s}{\sqrt{2}}, \qquad \theta(s) =\ln\!\Bigl(1+\tfrac{s}{\sqrt{2}}\Bigr).

Passo 4

Agora substituímos \theta=\theta(s) em \gamma(\theta). Como
e^{\theta(s)} =1+\frac{s}{\sqrt{2}} =\frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}},
segue
\delta(s) =\gamma\bigl(\theta(s)\bigr) =\Bigl( \frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\cos\!\bigl(\ln\tfrac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\bigr) ,\; \frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\sin\!\bigl(\ln\tfrac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\bigr) \Bigr).

Passo 5

Por construção temos \|\delta'(s)\|=1,
ou seja, s é de fato o comprimento de arco.

Resposta

\delta(s) =\frac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \Bigl(\cos\!\bigl(\ln\tfrac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\bigr),\; \sin\!\bigl(\ln\tfrac{s+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\bigr)\Bigr),
que é a reparametrização pelo comprimento de arco.

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