Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas, sendo
.
. Resp.:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa reparametrizar a curva
pelo comprimento de arco. Isso significa que, em vez de usar o parâmetro
, vamos usar
, que representa a distância percorrida ao longo da curva. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização de curvas e como calcular o comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Isso nos dá a velocidade vetorial da curva:
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade escalar:
Como
.
Passo 4
O próximo passo é encontrar a função
, que representa o comprimento de arco desde
até um ponto qualquer
. A fórmula para isso é:
Passo 5
Agora, precisamos inverter essa relação para expressar
em função de
. Da equação
, isolamos
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
por
na expressão original da curva
para obter a parametrização pelo comprimento de arco:
E o intervalo para
agora é
, já que
e
.