Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas, sendo t in[0,2 pi].
alpha(t)=(a cos t, a sin t). Resp.: alpha(s)=(a cos sa, a sin sa), s in[0,2 a pi].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa reparametrizar a curva alpha(t) = (a cos t, a sin t) pelo comprimento de arco. Isso significa que, em vez de usar o parâmetro t, vamos usar s, que representa a distância percorrida ao longo da curva. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização de curvas e como calcular o comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de alpha(t) em relação a t. Isso nos dá a velocidade vetorial da curva:
alpha,'(t) = ( ddt(a cos t), ddt(a sin t) ) = (-a sin t, a cos t)

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude dessa derivada, que representa a velocidade escalar:
|alpha,'(t)| = raiz(-a sin t)^2 + (a cos t)^2 = raiza^2 sin^2 t + a^2 cos^2 t = raiza^2 (sin^2 t + cos^2 t) = raiza^2 = a
Como sin^2 t + cos^2 t = 1.

Passo 4

O próximo passo é encontrar a função s(t), que representa o comprimento de arco desde t = 0 até um ponto qualquer t. A fórmula para isso é:
s(t) = integral0^t |alpha,'(tau)| , dtau = integral0^t a , dtau = a t

Passo 5

Agora, precisamos inverter essa relação para expressar t em função de s. Da equação s = a t, isolamos t:
t = sa

Passo 6

Finalmente, substituímos t por sa na expressão original da curva alpha(t) para obter a parametrização pelo comprimento de arco:
alpha(s) = ( a cos ( sa ), a sin ( sa ) )
E o intervalo para s agora é [0, 2api], já que s = a t e t in [0, 2pi].

Resposta

alpha(s) = ( a cos sa, a sin sa ), s in [0, 2api]

Exercícios relacionados