Sejam
e
funçoes contínuas em
. Sabendo-se que
e
são soluções fundamentais da equação diferencial
, para
, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação
?
.
Passo 1
O enunciado dá a equação não-homogênea
sabendo que as soluções fundamentais da associada homogênea
são
e
.
Vamos primeiro determinar e
e depois usar o método de variação de parâmetros para achar uma solução particular.
Vamos primeiro determinar
Passo 2
Usando
:
na homogênea
Usando
:
Substituindo
na segunda equação obtemos
e assim
Passo 3
Escrevemos a não-homogênea em forma padrão dividindo por
:
Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
As fórmulas são
com
. Logo
Passo 4
Integramos para achar
e
:
A solução particular é
Resposta
Uma solução particular da equação dada é