Sejam p(t) e q(t) funçoes contínuas em R. Sabendo-se que y1(t)=t e y2(t)=t^2 são soluções fundamentais da equação diferencial t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, para t>0, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=-4 t ?
y(t)=-4 t.

Passo 1

O enunciado dá a equação não-homogênea
t^2y'' + p(t)y' + q(t)y = -4t,
sabendo que as soluções fundamentais da associada homogênea
t^2y'' + p(t)y' + q(t)y = 0
são ,y1(t)=t e ,y2(t)=t^2.
Vamos primeiro determinar p(t) e q(t) e depois usar o método de variação de parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Usando y1(t)=t:
y1'=1, y1''=0,
na homogênea
t^2cdot0 + p(t)cdot1 + q(t)cdot t = 0 Longrightarrow p(t) + t,q(t)=0
Usando y2(t)=t^2:
y2'=2t, y2''=2,
t^2cdot2 + p(t)cdot2t + q(t)cdot t^2 = 0 Longrightarrow 2t^2 + 2t,p(t) + t^2q(t)=0
Substituindo p(t)=-t,q(t) na segunda equação obtemos
2t^2 + 2t(-tq) + t^2q = 2t^2 -2t^2q + t^2q =2t^2 - t^2q =0 Longrightarrow q(t)=2,
e assim
p(t) = -t,q(t) = -2t

Passo 3

Escrevemos a não-homogênea em forma padrão dividindo por :
Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
As fórmulas são
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Passo 4

Integramos para achar u1 e u2:
u1(t)=integral 4t,dt = 4ln t, u2(t)=integral -4t^2,dt = 4t
A solução particular é
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t) = 4ln tcdot t + 4tcdot t^2 = 4tln t + 4t

Resposta

Uma solução particular da equação dada é
boxedyp(t) = 4,tln t + 4,t

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