Sejam p(t) e q(t) funçoes contínuas em R. Sabendo-se que y1(t)=t e y2(t)=t^2 são soluções fundamentais da equação diferencial t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, para t>0, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=-4 t ?
y(t)=4 t ln t+4 t.

Passo 1

O enunciado dá a equação linear de segunda ordem não homogênea
t^2y''+p(t)y'+q(t)y=-4t, t>0,
cuja equação associada homogênea
t^2y''+p(t)y'+q(t)y=0
tem solução geral yh=C1t+C2t^2, isto é, as soluções fundamentais são y1(t)=t e y2(t)=t^2. Vamos usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular yp(t).

Passo 2

Assumimos
yp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t)
com as condições auxiliares
u1'(t),y1(t)+u2'(t),y2(t)=0, u1'(t),y1'(t)+u2'(t),y2'(t)=-4tt^2=-4t

Passo 3

Substituindo
Da primeira equação vem (u_{1}’=-t,u_{2}’]. Substituindo na segunda:

logo

E

Passo 4

Construímos então
yp(t)=u1(t),t+u2(t),t^2 =4ln tcdot t + 4t =4tln t+4t,
que de fato é uma solução particular da não homogênea.

Resposta

y(t)=4tln t+4t.

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