De repente um grupo de astrônomos avistam um objeto no espaço, seguindo uma trajetoria modelada pela função vetorial:
r(t)=(e^-3 t, t^2sen^2 t, cos 2 t)
e todos se perguntam: donde tal objeto saiu?. Responda a pergunta dos astrônomos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde um grupo de astrônomos viu um objeto no espaço seguindo uma trajetória descrita por uma função vetorial. A pergunta é: de onde esse objeto veio? Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções vetoriais e limites. Vamos precisar calcular a posição do objeto em um determinado momento, geralmente no início, para saber de onde ele saiu.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função vetorial que descreve a trajetória do objeto:
r(t) = ( e^-3 t, t^2sin^2 t, cos 2 t )
Aqui, r(t) nos dá a posição do objeto no tempo t , com as componentes x(t) , y(t) e z(t) .

Passo 3

Queremos saber de onde o objeto saiu, ou seja, qual era a posição dele no início, quando t = 0 . Então, vamos calcular r(0) :
r(0) = ( e^-3 cdot 0, 0^2sin^2 0, cos 2 cdot 0 )
Simplificando:
r(0) = ( e^0, 0sin^2 0, cos 0 )
Sabemos que e^0 = 1 e cos 0 = 1 . Porém, temos um problema na componente y : 0sin^2 0 . Como sin 0 = 0 , isso resulta em 00 , que é uma indeterminação.

Passo 4

Para resolver essa indeterminação, vamos calcular o limite da componente y(t) quando t se aproxima de 0:
limt to 0 t^2sin^2 t
Sabemos que, para valores pequenos de t , sin t approx t . Então, podemos aproximar:
t^2sin^2 t approx t^2t^2 = 1
Portanto:
limt to 0 t^2sin^2 t = 1

Passo 5

Agora, substituindo os valores calculados na posição inicial:
r(0) = ( 1, 1, 1 )

Resposta

Então, o objeto saiu do ponto (1, 1, 1) .

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