De repente um grupo de astrônomos avistam um objeto no espaço, seguindo uma trajetoria modelada pela função vetorial:
e todos se perguntam: donde tal objeto saiu?. Responda a pergunta dos astrônomos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde um grupo de astrônomos viu um objeto no espaço seguindo uma trajetória descrita por uma função vetorial. A pergunta é: de onde esse objeto veio? Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções vetoriais e limites. Vamos precisar calcular a posição do objeto em um determinado momento, geralmente no início, para saber de onde ele saiu.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função vetorial que descreve a trajetória do objeto:
Aqui,
nos dá a posição do objeto no tempo
, com as componentes
,
e
.
Passo 3
Queremos saber de onde o objeto saiu, ou seja, qual era a posição dele no início, quando
. Então, vamos calcular
:
Simplificando:
Sabemos que
e
. Porém, temos um problema na componente
:
. Como
, isso resulta em
, que é uma indeterminação.
Passo 4
Para resolver essa indeterminação, vamos calcular o limite da componente
quando
se aproxima de 0:
Sabemos que, para valores pequenos de
,
. Então, podemos aproximar:
Portanto:
Passo 5
Agora, substituindo os valores calculados na posição inicial:
Resposta
Então, o objeto saiu do ponto
.