De repente um grupo de astrônomos avistam um objeto no instante t=2. modelada pela função vetorial:
r(t)=(tan 3 tt, e^2 t-1t, t^3)
e todos se perguntam: donde tal objeto saiu?. Responda a pergunta dos astrônomos.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um grupo de astrônomos que observaram um objeto no instante t = 2 usando uma função vetorial que descreve a posição do objeto no espaço em função do tempo. O conteúdo envolvido aqui é o movimento vetorial e funções vetoriais. Vamos precisar entender como a posição do objeto muda com o tempo para descobrir de onde ele veio.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função vetorial dada:
r(t) = ( tan 3tt, e^2t - 1t, t^3 )
Essa função nos dá as coordenadas x , y e z do objeto em qualquer instante t . Para descobrir de onde o objeto saiu, queremos saber qual era a posição dele no início do movimento, ou seja, quando t = 0 .

Passo 3

No entanto, substituindo t = 0 diretamente na função, encontramos um problema:
r(0) = ( tan 00, e^0 - 10, 0^3 ) = ( 00, 00, 0 )
Isso resulta em expressões indefinidas. Para resolver isso, vamos calcular o limite da função r(t) quando t se aproxima de 0. Isso nos dará a posição inicial do objeto.

Passo 4

Vamos calcular cada componente separadamente:
  1. Componente x :
limt to 0 tan 3tt
Sabemos que limt to 0 tan tt = 1 . Então:
limt to 0 tan 3tt = 3
  1. Componente y :
limt to 0 e^2t - 1t
Aqui usamos a regra de L’Hôpital, já que é uma forma 00 :
limt to 0 2e^2t1 = 2
  1. Componente z :
limt to 0 t^3 = 0

Resposta

Portanto, o objeto saiu do ponto (3, 2, 0).

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