Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
r(t)=(t^3-8t^2-4, cos pitt-2, 2 t)
Determine o ponto ao qual o objeto se dirige quando nos aproximamos do instante t=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial que descreve o movimento de um objeto no espaço:
r(t)=(t^3-8t^2-4, cos pitt-2, 2 t)
O que a gente precisa descobrir é para onde o objeto está indo quando o tempo t se aproxima de 2. Isso envolve conceitos de limites e funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente. A função r(t) tem três partes: x(t) , y(t) e z(t) .

Passo 3

Vamos começar com x(t) = t^3-8t^2-4 . Notamos que tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0 quando t se aproxima de 2. Isso é uma forma indeterminada, então precisamos simplificar.

Passo 4

Fatorando o numerador e o denominador:
t^3 - 8 = (t - 2)(t^2 + 2t + 4)
t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2)
Agora, podemos simplificar a fração:
x(t) = (t - 2)(t^2 + 2t + 4)(t - 2)(t + 2) = t^2 + 2t + 4t + 2

Passo 5

Agora, calculamos o limite de x(t) quando t se aproxima de 2:
limt to 2 t^2 + 2t + 4t + 2 = (2)^2 + 2(2) + 42 + 2 = 4 + 4 + 44 = 124 = 3

Passo 6

Vamos para y(t) = cos pitt - 2 . Quando t se aproxima de 2, o numerador se aproxima de cos pi2 = 0 e o denominador se aproxima de 0, formando outra indeterminação 00 . Aqui, a gente pode usar a regra de L’Hôpital.

Passo 7

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
f(t) = cos pit Rightarrow f'(t) = sin pit cdot pit^2
g(t) = t - 2 Rightarrow g'(t) = 1
Agora, o limite fica:
limt to 2 f'(t)g'(t) = limt to 2 pi sin pitt^2
Substituindo t = 2 :
pi sin pi2(2)^2 = pi cdot 14 = pi4

Passo 8

Por último, temos z(t) = 2t . O limite aqui é direto:
limt to 2 2t = 2 times 2 = 4

Resposta

O objeto se dirige ao ponto (3, pi4, 4) quando t se aproxima de 2.

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