Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
Determine o ponto ao qual o objeto se dirige quando nos aproximamos do instante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial que descreve o movimento de um objeto no espaço:
O que a gente precisa descobrir é para onde o objeto está indo quando o tempo
se aproxima de 2. Isso envolve conceitos de limites e funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente. A função
tem três partes:
,
e
.
Passo 3
Vamos começar com
. Notamos que tanto o numerador quanto o denominador se aproximam de 0 quando
se aproxima de 2. Isso é uma forma indeterminada, então precisamos simplificar.
Passo 4
Fatorando o numerador e o denominador:
Agora, podemos simplificar a fração:
Passo 5
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 2:
Passo 6
Vamos para
. Quando
se aproxima de 2, o numerador se aproxima de
e o denominador se aproxima de 0, formando outra indeterminação
. Aqui, a gente pode usar a regra de L’Hôpital.
Passo 7
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Agora, o limite fica:
Substituindo
:
Passo 8
Por último, temos
. O limite aqui é direto:
Resposta
O objeto se dirige ao ponto
quando
se aproxima de 2.