Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
r(t)=(t^3-8t^2-4, cos pitt-2, 2 t)
Determine os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial que descreve o movimento de um objeto no espaço usando uma função vetorial. A pergunta é para descobrir em quais intervalos de tempo dá pra calcular a posição exata desse objeto. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender sobre funções racionais e funções trigonométricas, além de saber identificar onde essas funções estão bem definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar cada componente da função vetorial separadamente para ver onde elas estão definidas. A função dada é:
r(t)=(t^3-8t^2-4, cos pitt-2, 2 t)
Temos três componentes: x(t) = t^3-8t^2-4 , y(t) = cos pitt-2 e z(t) = 2t .

Passo 3

Vamos começar com x(t) = t^3-8t^2-4 . Aqui, o denominador t^2-4 não pode ser zero, porque a divisão por zero não é definida. Então, temos:
t^2 - 4 neq 0 Rightarrow t neq pm 2

Passo 4

Agora, vamos para y(t) = cos pitt-2 . Primeiro, o denominador t-2 também não pode ser zero:
t - 2 neq 0 Rightarrow t neq 2
Além disso, dentro do cosseno, temos pit . Aqui, t também não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido:
t neq 0

Passo 5

Por último, a componente z(t) = 2t é uma função simples e está definida para todos os valores de t .

Passo 6

Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
  • De x(t) : t neq 2 e t neq -2
  • De y(t) : t neq 2 e t neq 0

Passo 7

A interseção dessas restrições nos dá os valores de t que não podem ser 2, -2 ou 0. Portanto, a função vetorial está bem definida para todos os t reais, exceto nesses pontos.

Resposta

Os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto são todos os números reais t onde t neq -2 , t neq 0 e t neq 2 .

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