Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
Determine os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial que descreve o movimento de um objeto no espaço usando uma função vetorial. A pergunta é para descobrir em quais intervalos de tempo dá pra calcular a posição exata desse objeto. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender sobre funções racionais e funções trigonométricas, além de saber identificar onde essas funções estão bem definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar cada componente da função vetorial separadamente para ver onde elas estão definidas. A função dada é:
Temos três componentes:
,
e
.
Passo 3
Vamos começar com
. Aqui, o denominador
não pode ser zero, porque a divisão por zero não é definida. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos para
. Primeiro, o denominador
também não pode ser zero:
Além disso, dentro do cosseno, temos
. Aqui,
também não pode ser zero, porque dividir por zero não é permitido:
Passo 5
Por último, a componente
é uma função simples e está definida para todos os valores de
.
Passo 6
Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
- De
: e - De
: e
Passo 7
A interseção dessas restrições nos dá os valores de
que não podem ser 2, -2 ou 0. Portanto, a função vetorial está bem definida para todos os
reais, exceto nesses pontos.
Resposta
Os intervalos de tempo em que é possível calcular a posição exata do objeto são todos os números reais
onde
,
e
.