Seja f: R^2 R definida por f(x, y)=x / y, y neq 0 e f(x, y)=0, y=0. Demonstre que:
Mostre que f não é limitada em X0, isto é, dado M>0, não existe uma bola B centrada em X0 e tal que |f(x, y)|<M para todo (x, y) in B.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracxy,&yneq0,[6pt] 0,&y=0,
e pede para mostrar que f não é limitada em X0=(0,0).
O conteúdo aqui é noção de limite em várias variáveis e o conceito de função não limitada num ponto: mostrar que, dado M>0, em qualquer bola centrada em (0,0) existe ponto onde lvert frvert ultrapassa M.]

Passo 2

Seja arbitrário M>0. Para provar que não há bola Br(0,0) em que lvert f(x,y)rvert<M para todo (x,y)in Br(0,0), basta mostrar que, dado qualquer raio r>0, existe (x,y) com raizx^2+y^2<r e l|f(x,y)r|>M.

Passo 3

Em coordenadas, considere pontos com yneq0 e defina
x=(M+1),y
Então
f(x,y)=xy=M+1 Longrightarrow lvert f(x,y)rvert=M+1>M

Passo 4

Falta garantir que (x,y) esteja dentro de Br(0,0), ou seja,
raizx^2+y^2 =raizl((M+1)yr)^2+y^2 =|y|raiz(M+1)^2+1 ;<;r
Basta escolher
ytal que 0<|y|<rraiz(M+1)^2+1
Isso é possível pois o lado direito é positivo.

Passo 5

Assim, para qualquer r>0 encontramos (x,y)in Br(0,0) com lvert f(x,y)rvert=M+1>M. Logo não existe bola centrada em (0,0) onde lvert frvert fique sempre abaixo de M.

Resposta

A função f não é limitada em X0=(0,0).

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