Seja definida por e . Demonstre que:
Mostre que não é limitada em , isto é, dado , não existe uma bola centrada em e tal que para todo .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que f não é limitada em X0=(0,0).
O conteúdo aqui é noção de limite em várias variáveis e o conceito de função não limitada num ponto: mostrar que, dado M>0, em qualquer bola centrada em (0,0) existe ponto onde lvert frvert ultrapassa M.]
Passo 2
Seja arbitrário M>0. Para provar que não há bola Br(0,0) em que lvert f(x,y)rvert<M para todo (x,y)in Br(0,0), basta mostrar que, dado qualquer raio r>0, existe (x,y) com raizx^2+y^2<r e l|f(x,y)r|>M.
Passo 3
Em coordenadas, considere pontos com yneq0 e defina
Assim, para qualquer r>0 encontramos (x,y)in Br(0,0) com lvert f(x,y)rvert=M+1>M. Logo não existe bola centrada em (0,0) onde lvert frvert fique sempre abaixo de M.