4-A representação gráfica das curvas y=x^{2} e x^{2}+y^{2}=6. Determinar a área da região contida no primeiro quadrante delimitadas pelas curavas citadas e pelo eixo x. ( 1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada por
  1. a parábola y = x^2,
  2. o círculo x^2 + y^2 = 6,
  3. e o eixo x.
    Para resolver, vamos usar cálculo de integrais em coordenadas cartesianas, dividindo a região em dois pedaços conforme muda a curva “de cima”.

Passo 2

Primeiro, determinamos onde a parábola e o círculo se intersectam. Substituímos y = x^2 em x^2 + y^2 = 6, obtendo
x^2 + (x^2)^2 = 6
x^4 + x^2 - 6 = 0.
Fazendo u = x^2, temos u^2 + u - 6 = 0, cujas raízes são u = 2 e u = -3. Descartamos u=-3 e ficamos com x^2 = 2, ou seja
x = \sqrt{2},\quad y = (\sqrt{2})^2 = 2.

Passo 3

A região no primeiro quadrante vai de x=0 a x=\sqrt{6}. Até x=\sqrt{2} o limite superior é a parábola y=x^2. De x=\sqrt{2} a x=\sqrt{6} o limite superior é a semicircunferência y = \sqrt{6 - x^2}. Assim a área total é
A = \int_{0}^{\sqrt{2}} x^2 \,dx \;+\;\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}} \sqrt{6 - x^2}\,dx.

Passo 4

Calculamos a primeira integral:
\int_{0}^{\sqrt{2}} x^2 \,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^3}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

Para a segunda, usamos a fórmula
\int \sqrt{a^2 - x^2}\,dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} \;+\;\frac{a^2}{2}\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr) \;+\;C,
com a = \sqrt{6}. Avaliando de x=\sqrt{2} até x=\sqrt{6}
\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}} \sqrt{6 - x^2}\,dx = \Bigl[\frac{x}{2}\sqrt{6-x^2} + 3\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{\sqrt{6}}\bigr)\Bigr]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{6}} = \frac{3\pi}{2} \;-\;\bigl(\sqrt{2} +3\,\arcsin(\tfrac{1}{\sqrt{3}})\bigr).

Passo 6

Somando as duas parcelas:
A = \frac{2\sqrt{2}}{3} \;+\;\Bigl(\frac{3\pi}{2} - \sqrt{2} - 3\arcsin(\tfrac{1}{\sqrt{3}})\Bigr) = \frac{3\pi}{2} - 3\arcsin\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr) - \frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

A = \frac{3\pi}{2}\;-\;3\arcsin\!\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigr)\;-\;\frac{\sqrt{2}}{3}.

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