4-A representação gráfica das curvas
e
. Determinar a área da região contida no primeiro quadrante delimitadas pelas curavas citadas e pelo eixo
. ( 1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada por
- a parábola
, - o círculo
, - e o eixo
.
Para resolver, vamos usar cálculo de integrais em coordenadas cartesianas, dividindo a região em dois pedaços conforme muda a curva “de cima”.
Passo 2
Primeiro, determinamos onde a parábola e o círculo se intersectam. Substituímos
em
, obtendo
Fazendo
, temos
, cujas raízes são
e
. Descartamos
e ficamos com
, ou seja
Passo 3
A região no primeiro quadrante vai de
a
. Até
o limite superior é a parábola
. De
a
o limite superior é a semicircunferência
. Assim a área total é
Passo 4
Calculamos a primeira integral:
Passo 5
Para a segunda, usamos a fórmula
com
. Avaliando de
até
dá
Passo 6
Somando as duas parcelas: