Representação gráfica de elipses no plano
Elipse com centro na origem O(0,0) e focos sobre o eixo dos x ou dos y : Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar focos, vértices, centro, medida do eixo maior e do eixo menor, distância focal e excentricidade de cada elipse e construir o gráfico.
x^29+y^24=36

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^29+y^24=36
que é uma elipse com centro na origem e focos sobre um dos eixos coordenados. Precisamos reduzir à forma canônica, identificar centro, vértices, co-vértices, focos, medidas dos eixos, distância focal, excentricidade e esboçar o gráfico.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por 36 para obter a forma tfracx^2a^2+tfracy^2b^2=1. Assim,
x^29+y^24=36 Longrightarrow x^29cdot36+y^24cdot36=1 Longrightarrow x^2324+y^2144=1
Logo a^2=324 e b^2=144.

Passo 3

Como a^2>b^2, o eixo maior está no sentido de x. Portanto:
Centro: (0,0).
Vértices (eixo maior): l(pm a,0r)=(pm18,0).
Co-vértices (eixo menor): l(0,pm br)=(0,pm12).
Comprimento do eixo maior: 2a=36.
Comprimento do eixo menor: 2b=24.

Passo 4

A distância focal c satisfaz
c^2=a^2-b^2=324-144=180 Longrightarrow c=raiz180=6raiz5
Os focos são l(pm c,0r)=l(pm6raiz5,0r).

Passo 5

A excentricidade é definida por
e=ca=6raiz518=raiz53
A distância focal total (entre os dois focos) é 2c=12raiz5.

Passo 6

Para esboçar a elipse:
  1. Desenhe o sistema de eixos cartesianos.
  2. Marque o centro em (0,0).
  3. No eixo x, marque os vértices em (18,0) e (-18,0).
  4. No eixo y, marque os co-vértices em (0,12) e (0,-12).
  5. Marque também os focos em l(6raiz5,0r) e l(-6raiz5,0r).
  6. Una suavemente esses pontos em forma de “oval” simétrica.

Resposta

Equação canônica:
x^2324+y^2144=1
Centro: (0,0)
Vértices: (pm18,0)
Co-vértices: (0,pm12)
Focos: l(pm6raiz5,0r)
Eixo maior: 36
Eixo menor: 24
Distância focal: 12raiz5
Excentricidade: tfracraiz53

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