Representação gráfica de elipses no plano
Elipse com centro na origem O(0,0) e focos sobre o eixo dos x ou dos y : Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar focos, vértices, centro, medida do eixo maior e do eixo menor, distância focal e excentricidade de cada elipse e construir o gráfico.
x^24+y^216=1

Passo 1

O enunciado pede para tratar a elipse dada por
x^24 + y^216 = 1
reduzindo-a (se necessário) à forma canônica, e em seguida identificar centro, focos, vértices, medida dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade, para então esboçar o gráfico. O conteúdo é geometria analítica de cônicas, especificamente elipses.

Passo 2

Verificamos que a equação já está em forma canônica
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
comparando com
tfracx^24 + tfracy^216 = 1
vemos que
a^2 = 16, b^2 = 4,
onde a^2>b^2 indica que o eixo maior é paralelo ao eixo y. Logo
a = 4, b = 2

Passo 3

O centro da elipse é o ponto
(0,0)
A medida do eixo maior é
2a = 2cdot 4 = 8,
e a medida do eixo menor é
2b = 2cdot 2 = 4

Passo 4

Os vértices relacionados ao eixo maior (vertical) são
(0,,pm a) = (0,,pm 4),
e os vértices do eixo menor (horizontal) são
(pm b,,0) = (pm 2,,0)

Passo 5

A distância focal 2c se obtém de
c^2 = a^2 - b^2 = 16 - 4 = 12 Longrightarrow c = raiz12 = 2raiz3
Logo os focos são
(0,,pm c) = l(0,pm 2raiz3r),
a distância focal é
2c = 4raiz3,
e a excentricidade é
e = ca = 2raiz34 = raiz32

Passo 6

Para esboçar o gráfico, marcamos no plano o centro (0,0), os vértices (0,pm4) e (pm2,0), e os focos l(0,pm2raiz3r). A curva é uma oval alongada verticalmente.

Resposta

Centro: (0,0)
Vértices maior eixo: (0,pm4)
Vértices menor eixo: (pm2,0)
Focos: l(0,pm2raiz3r)
Eixo maior: 8
Eixo menor: 4
Distância focal: 4raiz3
Excentricidade: tfracraiz32

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