Representação gráfica de hipérboles no plano
Hipérbole com centro na origem O(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x ou dos y : Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar os focos, os vértices, o eixo real, a excentricidade e as assíntotas (duas retas de equação y= pm ba x ou y= pm ab x, respectivamente para o eixo real sobre o eixo dos x ou dos y ) de cada hipérbole e construir o gráfico.
9 x^2-7 y^2-63=0

Passo 1

O enunciado nos dá a hipérbole centrada em O(0,0) com equação
9x^2-7y^2-63=0
e pede que reduzamos à forma canônica, identifiquemos focos, vértices, eixo real, excentricidade e assíntotas, e por fim construamos o gráfico.

Passo 2

Para obter a forma canônica, dividimos a equação por 63:
9x^263-7y^263=1
que simplifica para
x^27-y^29=1
Dessa forma temos a^2=7, b^2=9, logo a=raiz7 e b=3. Como o termo positivo é o de x^2, o eixo real é o eixo x.

Passo 3

Em toda hipérbole da forma dfracx^2a^2-dfracy^2b^2=1 vale c^2=a^2+b^2. Aqui
c^2=7+9=16Longrightarrow c=4
Portanto os focos são (pm 4,0) e os vértices são (pm a,0)=(pm raiz7,0).

Passo 4

A excentricidade é
e=ca=4raiz7
As assíntotas, para hipérbole com eixo real no x, são
y=pmba,x=pm3raiz7,x

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Marque o centro em (0,0).
  2. Marque os vértices em (pm raiz7,0).
  3. A partir da origem, trace as retas y=pmtfrac3raiz7x.
  4. Desenhe os dois ramos da hipérbole que se abrem para a esquerda e para a direita, aproximando-se dessas retas.

Resposta

Forma canônica: dfracx^27-dfracy^29=1
Focos: (pm 4,0)
Vértices: (pm raiz7,0)
Eixo real: eixo x
Excentricidade: e=dfrac4raiz7
Assíntotas: y=pmdfrac3raiz7x

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